The twentieth century saw a remarkable development and consolidation of the theory of groups and their representations. Now the theory is being extended in a number of different directions. The talk will touch briefly on two of these, namely algebraic combinatorics and Hopf algebras, before delving more deeply into a third direction, the theory of quasigroups.

Kryptografia bierze swoje początki z czasów antycznych. Techniki szyfrowania, stworzone w jej ramach, wykorzystywane były na przestrzeni wieków do utajniania informacji w wojskowości, dyplomacji i kontaktach handlowych. W ciągu ostatnich kilku dekad, w związku z dramatycznym rozwojem technik komunikacji cyfrowej, dziedzina ta znacznie rozszerzyła swój pierwotny zakres zastosowań. Obecnie protokoły skonstruowane przez kryptografów służą nie tylko do zapewnienia poufności przesyłanych informacji, ale także mają szereg innych zastosowań takich jak: podpis elektroniczny, aukcje internetowe, głosowanie elektroniczne oraz obliczenia „w chmurze” (ang. cloud computing). Na wykładzie dokonamy krótkiego wprowadzenia do kryptografii oraz przedstawimy przegląd niektórych z tych zagadnień.

W czasie odczytu zostaną przedstawione wyniki, za które uzyskał to wyróżnienie: dowód zbieżności do stanu stacjonarnego rozwiązań równania Boltzmanna, w tym dowód hipotezy Cercignaniego, wyjaśnienie relaksacji do stanu równowagi rozwiązań równania Vlasova (tłumienie Landaua). W odczycie będzie także mowa o innych ważnych wynikach Villaniego otrzymanych w ostatnich latach, m.in. o związkach krzywizny Ricciego z entropią.

Prócz bycia wybitnym uczonym – choć nie bez związku z tym faktem – Cédric Villani stał się czołowym celebrytą francuskich mediów. Wykorzystując ten swój status Villani przyczynia się w niezwykłym stopniu do propagowania znaczenia matematyki we współczesnym świecie. O tym aspekcie osobowości Villaniego będzie też mowa w czasie odczytu.

Próby zrozumienia teorii algebr klastrowych Fomina i Zelevinskiego doprowadziły do nowego otwarcia w teorii algebr skończonego wymiaru, związanego z pojęciem tzw. kategorii klastrowych. Sztywne obiekty w tej kategorii mają mutacje, które pokazują ich ukrytą symetrię.

Wychodząc od reprezentacji kołczanów i twierdzenia Gabriela, zdefiniuję asocjahedron; pokażę, jak się on pojawia i jak w naturalny sposób prowadzi do pojęcia kategorii klastrowych. Omówię także najprostsze przykłady mutacji.

The attempts to understand theory of cluster algebras of Fomin and Zelevinsky led to new developments in the theory of Artin algebras based on the notion of cluster category. The rigid objects in that category come equipped with mutations that reveal hidden symmetry.

Departing from the definition of quiver representations and Gabriel theorem I will define the associahedron, show how it appears in that context and how it leads naturally to the notion of cluster categories. I will also describe the simplest examples of mutations.

I will describe a few mathematical questions (many of them open) that arise in the classical (and very simple) setting of the point mass moving by inertia in a bounded planar domain and elastically bouncing off its boundary.

If we choose a finitely presented group at random, what properties does it have?

This question can be made more precise in different ways. For example, twenty years ago, Gromov introduced his density model for random groups and showed that, generically, random groups are infinite and negatively curved on large scales (to be precise, they are Gromov hyperbolic).

Meanwhile, there have been many developments in the study of the large scale geometry of Gromov hyperbolic groups. In this talk we will follow these two strands of research from the basic definitions through to recent results. We will see how these ideas interact to give a richer picture of the large scale geometry of random groups.

Badanie nieskończonych grup metodami geometrycznymi, rozpoczęte przez Maxa Dehna w początkach dwudziestego wieku, zostało odnowione w końcu wieku w pracach Mostowa, Margulisa i przede wszystkim Gromowa. Nowością ich podejścia jest skupienie się na asymptotycznych, zgrubnych własnościach grup i przestrzeni, które jednak niosą wiele interesujących informacji o pewnej klasie grup.

Opowiem o twierdzeniu Mostowa o sztywności, twierdzeniu Gromowa o wzroście wielomianowym, grupach hiperbolicznych Gromowa oraz (nowszych) zastosowaniach podobnych idei dla ważnych grup niskowymiarowej topologii.

Arnold diffusion is a phenomenon of instability for nearly integrable Hamiltonian systems. I plan to discuss various versions of the problem, the main difficulties, the basic conjectures and the present state of art in the domain.

Opowiem o dwóch najpopularniejszych kryptosystemach asymetrycznych: RSA i kryptosystemie El Gamala. Pierwszy z nich wykorzystuje elementarne własności liczb naturalnych, drugi oparty jest na krzywych eliptycznych nad ciałem skończonym.

In the talk, I am going to explain the so-called local regularity theory for weak solutions to the Navier-Stokes equations. Starting with well understood things such as "epsilon"-regularity theory for suitable weak solutions, I shall continue with the reduction of a local regularity problem to the Liouville-type theorems. A conjecture about mild bounded ancient solutions will be discussed. The positive answer to it would rule out blow-ups of Type I and more generally blow-ups for which a certain "reasonable" scale-invariant quantity is bounded. For example, among such type of quantities are the scaled kinetic energy, the scaled dissipation, and etc. The second part of the talk will address the problem of how scale-invariant norms of the velocity field grow when time approaches a potential blow-up.

Teoria połączeń układów dynamicznych jest obecnie jednym z najbardziej rozwijających się kierunków badań w teorii ergodycznej. Przedstawię jedno z jej zastosowań - dowód twierdzenia ergodycznego T. Tao z 2008 r.

The renormalization is an important idea in dynamical systems, which proved effective in the studies of bifurcations and rigidities, etc. It was first introduced for unimodal maps on the interval in order to explain the universality of period doubling bifurcation sequences. Key idea is to take an appropriate subset of the phase space and consider the first return map to this subset (and rescale the set if necessary). This defines a meta-dynamics on the space of certain dynamical systems. This idea has been applied in many settings and surprisingly the meta-dynamics is often a simpler one, such as a contraction or a hyperbolic system, from which people were able to derive conclusion on the original dynamical systems. In this talk, we discuss the general idea of renormalization and some specific cases, in particular, the renormalization associated to irrationally indifferent fixed points of holomorphic functions.

Let T be a tree with n vertices. The distance matrix of T is an n×n matrix D=[d_ij]; with d_ij being the distance between vertices i and j; if i is not equal to j; and d_ii=0. According to a classical result of Graham and Pollak, the determinant of D is a function only of n and does not depend on the tree. A formula for the inverse of D was obtained by Graham and Lovász. We discuss various recent extensions of these results. These include weighted versions, including matrix weights, a q-analogue and results for the "resistance distance" in an arbitrary graph.

It is a very long-established mathematical procedure to study the features of a geometric space X through its ring of coordinate functions. A more recent idea is to consider instead the noncommutative ring of differential operators on X. This has been exploited in a variety of contexts, and in this lecture I shall examine it from the perspective of C*-algebra theory and Alain Connes' noncommutative geometry. The ring of differential operators is almost commutative in the sense that it is a deformation of a commutative ring. Connes' tangent groupoid captures this fact and gives a link to C*-algebras. There are applications to the Atiyah-Singer index theorem. In addition noncommutative C*-algebras give some surprising insights into the concepts of "symbol" and "ellipticity" as they apply to extensions of the Atiyah-Singer theory.

In many cases, a differential equation will have a solution that involves a formal power series with radius of convergence equal to 0. In the talk it shall be discussed what the meaning of such formal solutions is, and how they can still be used to calculate a proper solution, or obtain other useful information on the asymptotic behaviour of solutions. The talk is intended for non-specialists.

A relative newcomer's view of the history of the Hodge conjecture and attempts to prove it, ending with an overview of the state of the conjecture today.

Let G be a (countable) discrete group acting by diffeomorphisms on a smooth manifold M. Assume that the action is smooth, proper, and co-compact. Let D be a G-invariant elliptic differrential (or perhaps pseudo-differential) operator on M. What should we mean by the equivariant index of D? This talk will take up this issue. The underlying idea is that the equivariant index is the basic topological invariant of the operator. The talk will explain how this is used in the Atiyah-Singer index theorem and in the Baum-Connes conjecture. From this point of view, Atiyah-Singer is the special case of Baum-Connes when the group G is the trivial one-element group.

The example when G=Z, and M is the real line R, and D=d/dx, and Z acts on R by the usual translation action will be considered in detail.

This talk is intended for non-specialists. The relevant definitions will be carefully stated.

Od pierwszych prac kosmologicznych Friedmanna i Lemaître'a wiadome było, że ewolucja standardowego modelu kosmologicznego rozpoczyna się od osobliwości, zwanej osobliwością początkową (potocznie Wielkim Wybuchem). Stan z pewnymi wielkościami dążącymi do nieskończoności należało usunąć z modelu, ale chcąc to zrobić, trzeba było najpierw wiedzieć, co to jest osobliwość, a podanie niezmienniczej definicji osobliwości okazało się trudnym zadaniem matematycznym. Różne definicje prowadziły do różnych konstrukcji i różnych twierdzeń matematycznych. Problem „początku świata” jest nadal otwartym zagadnieniem w kosmologii i nadal inspiruje wiele ciekawych prac o dużym znaczeniu dla matematyki. Wyraz „złośliwa” w tytule odczytu jest wyrażeniem technicznym, a złośliwości matematyczne bywają szczególnie trudne do rozwikłania.

Słabe rozwiązania pełnią ważną rolę także w przypadku nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych. Przedstawimy sposoby definiowania (lub też brak takiej możliwości) pewnych nieliniowych operatorów eliptycznych (przede wszystkim rzeczywistego i zespolonego operatora Monge'a-Ampère'a oraz operatorów hesjanowych) dla naturalnych związanych z nimi klas funkcji, np. funkcji wypukłych i plurisubharmonicznych.

Przedstawiony zostanie szkic uproszczonego algorytmu rozwiązywania osobliwości. Dla każdej rozmaitości algebraicznej istnieje rozmaitość gładka biwymiernie z nią rownoważna. Rozmaitość ta jest otrzymana przez ciąg pewnych prostych przekształceń, tzw. rozdmuchań o gładkich centrach.

What is a quantum group? Depending on whom you ask, the answer could be very different. Some people will say that it is simply a Hopf algebra. Others will give a much more nuanced answer.

In this talk, I will approach quantum groups from a very specific point of view. I will introduce and discuss the notion of a discrete quantum group as a quantum analogue of a discrete group. And I will use this case to explain what a quantum group is for anyone with a background in analysis. I will also discuss this notion in relation (duality) with that of a compact quantum group.

I will be rather elementary, avoid technical difficulties, but nevertheless try to give a flavor of the nice and rich theory and touch some of the more recent developments.

This talk will consist of four points:

1. The basic definition of K-theory
2. A brief history of K-theory
3. Algebraic versus topological K-theory
4. The unity of K-theory

Kluczem do sukcesu wyszukiwarki Google jest algorytm PageRank. Algorytm ten przypisuje każdej stronie w internecie liczbę (PageRank), której wyszukiwarka następnie używa, by ustalić kolejność stron w wyniku wyszukiwania. W przybliżeniu, PageRank strony jest miarą częstości, z jaką klikający przypadkowo użytkownik odwiedzi tę stronę. Oto niektóre założenia na temat klikającego użytkownika: zaczyna na przypadkowej stronie, z jednej strony przechodzi na następną, klikając losowo wybrany odnośnik, okresowo użytkownik się nudzi i losowo wybiera nową stronę z internetu.

Wykład jest przeznaczony dla szerokiej publiczności matematycznej.

Starting from Connes and Moscovici's original definition of Hopf-cyclic cohomology, we will give a history of Hopf-equivariant cohomology theories and explain how various such equivariant theories are related.

Niech (M,d) będzie rozmaitością dwuwymiarową zupełną, być może z brzegiem, z metryką geodezyjną. Niech X będzie zwartym podzbiorem M. Wtedy, poza przeliczalną liczbą wartości c, każda składowa zbioru S(X,c) punktów, których odległość od X jest równa c, jest albo punktem, albo krzywą zwykłą zamkniętą rozłączną z brzegiem M, albo łukiem przecinającym brzeg M w swoich końcach. Na płaszczyźnie z metryką euklidesową zbiór tych c, dla których S(X,c) nie jest skończoną sumą krzywych zwykłych zamkniętych, ma wymiar Hausdorffa co najwyżej 1/2 i jest pierwszej kategorii.

Punkty stałe równania Feigenbauma są ważne dynamicznie, ponieważ od nich zależy uniwersalne zachowanie przekształceń unimodalnych na granicy chaosu. Wiadomo, że dla każdej liczby parzystej istnieje dokładnie jeden punkt stały w szerokiej klasie przekształceń z punktem krytycznym rzędu równego tej liczbie. Okazuje się, że gdy rząd krytyczności dąży do nieskonczoności, to odpowiednio przeskalowane punkty stałe mają dobrze zdefiniowaną granicę. Co więcej, sama ta granica ma interesującą dynamikę, która może z kolei dostarczyć wartościowych informacji o dynamice i geometrii przekształceń z punktem krytycznym wysokiego, lecz skończonego rzędu.

Dziesięć lat temu we wspólnej pracy z A. Żochowskim (IBS PAN) zaproponowaliśmy pojęcie pochodnej topologicznej funkcjonału zależnego od obszaru geometrycznego. Pochodna jest granicą, wyznaczoną przy wykorzystaniu analizy asymptotycznej, przyrostu funkcjonału kształtu, gdy w obszarze powstaje dziura i jej objętość zbiega do zera. Obecnie pojęcie pochodnej topologicznej jest używane przy rozwiązywaniu zadań optymalizacji kształtu i w teorii równań różniczkowych cząstkowych przy analizie osobliwych zaburzeń obszaru całkowania dla równań typu eliptycznego. Wykład będzie dotyczył zarówno aspektów teoretycznych pochodnej topologicznej, jak też praktycznych, pokazujących zastosowanie pochodnej topologicznej w metodzie typu „level set” przy rozwiązywaniu zadań optymalizacji kształtu i topologii. Prezentowane wyniki są uzyskane we współpracy z ośrodkami we Francji, Niemczech, USA, Brazylii, Austrii, Rosji i w Polsce.

Seeing Mathematics is the study of abstract mathematical structures, it is natural to ask, what is the basic structure needed for the foundation of mathematics? The obvious answer of the before-category-theory era would be: it is a pair (U,e), where e is a binary relation on U satisfying the axioms of set theory. However, knowing about "strange" arguments, such as Russell's Paradox, a "working mathematician" might have doubts here: "How can (U,e) be a mathematical structure? Is not U "too large" being the collection of all sets?" And it is not easy to argue - simply because there are no simple "small" example of such a (U,e). The purpose of the talk is to explain how category theory solves this problem by providing a long sequence of simple and less simple categorical structures that "converges" to those (U,e)'s. In particular the explanation will involve a discussion on "internal and external" versus "small and large".

Struktury pseudolosowe, których elementy są rozłożone w jednostajny, "losowy", sposób, są niezwykle pożytecznym narzędziem kombinatoryki, teorii liczb, teorii układów dynamicznych i informatyki teoretycznej. W wykładzie przytoczymy dwa proste dowody twierdzenia Rotha, oparte o dwie różne struktury tego rodzaju. Następnie powiemy pokrótce, jak oba te rozumowania zostały przekształcone przez Gowersa i Nagle, Rödla, Schachta i Skokana, którzy podali nowe dowody twierdzenia Szemerédiego o ciągach arytmetycznych w gęstych podzbiorach liczb naturalnych. Na końcu wykładu zwięźle skomentujemy perspektywy takiego podejścia, w świetle ostatnich prac Greena, Tao, Bergelsona i Kra.

Classical methods ranging from Brouwer fixed point Theorem to applications of Lefschetz formula to Nielsen theory allow to deduce from global topological information such as the homotopy time of a map existence of periodic orbits of various periods and estimate from below numbers of those orbits.

Modern methods based on variational calculus and hyperbolic dynamics allow to deduce from similar global data existence of large invariant sets with complicated behavior modeled usually on symbolic systems such as topological Markov chains. However, the correspondence with a model is always only continuous and very rarely differentiable and those invariant sets have zero volume.

In this talk we will discuss recent developments which appeared in joint work with Boris Kalinin and Federico Rodriguez Hertz in various combinations. We show that situation changes dramatically when instead of a single differentiable map one considers several commuting maps. In this case global topological information may force invariance of geometric structure such as an absolutely continuous invariant measure or a flat affine structure defined on an invariant set of positive volume. Furthermore, there is a smooth correspondence with a standard algebraic model on an invariant set of positive volume. All this happens for example for actions of Z^k, k>1, on the (k+1)-dimensional torus with Cartan homotopy data, i.e. actions whose elements other than the identity are homotopic to corresponding elements of an action by hyperbolic linear maps.

In a further development we show that certain purely dynamical assumptions in the absence of any topological information also force absolute continuity of an invariant measure.

In the group algebra of the symmetric group there is an element which plays an important role in many different topics. It is called the Eulerian idempotent. It permits us to give an explicit version of the Baker-Campbell-Hausdorff formula. It is involved in the decomposition of Hochschild and cyclic homology. It is a key tool in the solution of the Kashiwara-Vergne conjecture. I will give a conceptual construction in the framework of Hopf algebras and operads from which most of its properties can be derived.

W referacie przedstawione będą (niektóre) wyniki tegorocznego laureata medalu Fieldsa Andreia Okounkova.

Naszkicowany zostanie związek między problemem obliczania liczby rozgałęzionych nakryć sfery Riemanna (liczby Hurwitza) i geometrią uzwarconych przestrzeni parametryzujących powierzchnię Riemanna z wyróżnionymi punktami (całki Hodge'a i niezmienniki Gromova-Wittena). Związek ten wyraża się w terminach układów całkowalnych (hierarchia Tody).

Spośród pięciu wyjątkowych algebr Liego w klasyfikacji Elie Cartana skończeniewymiarowych prostych algebr Liego zadawalające modele znane były dotąd jedynie dla 14-wymiarowej algebry g₂ i 52-wymiarowej algebry f₄. Niedawno odkryłem raczej nieoczekiwane modele również dla 78-wymiarowej algebry e₆ i 133-wymiarowej algebry e₇. Mowa o tym będzie w odczycie.

Dla zrozumienia odczytu wystarczy znajomość podstaw algebry liniowej.

Wykład będzie dotyczył funkcji z przestrzeni Sobolewa klasy W^m,p(Ω) scharakteryzowanych przez zachowanie formalnej reszty Taylora RF^m-1(x,y) w otoczeniu diagonali w ΩxΩ. Teoria Whitney'a robiła to w odniesieniu do funkcji z określonymi i ciągłymi pochodnymi.

Dla klas W^1,p prowadzi to do przeniesienia koncepcji przestrzeni Sobolewa na ogólne przestrzenie metryczne z miarą (fraktale).

Niech f:X→X bedzie ciągłym odwzorowaniem zwartej rozmaitości. Punktem okresowym f nazywamy punkt xєX taki, że istnieje nєN, że fⁿ(x)=x. Podamy przegląd metod, rozwijanych na bazie klasycznych teorii Lefschetza i Nielsena, pozwalających szacować (z dołu) ilość punktów okresowych i opisywać wystepujące okresy minimalne. Ze swej konstrukcji metody te dają inwarianty będące niezmiennikami homotopii, a więc narzędzia mało delikatne, ale za to stabilne, gdyż otrzymywane niezmienniki są niezmiennikami deformacji (a więc małej perturbacji). Ich kombinacja z dodatkowymi założeniami na f, jak C¹-gładkość, symetria czy analityczność, pozwala istotnie wzmacniać otrzymywane wyniki.

In this talk the main types of local classification problems will be distinguished and for each of them the main goals and methods will be described.

Grupa geometrów algebraicznych na Uniwersytecie Warszawskim, utworzona i kierowana przez Prof. Białynickiego-Birulę, działa już ponad 40 lat. Na wykładzie chciałbym omówić twierdzenie Białynickiego-Biruli z początków lat 70-tych i twierdzenie Włodarczyka sprzed paru lat, oba dotyczące działania grupy C*, podobne w sensie estetyki i sposobu widzenia geometrii algebraicznej, choć różne w zakresie zastosowań.

Most of the fundamental questions concerning the existence, uniqueness, regularity, stability and bifurcation of solutions to the equations of nonlinear elasticity are open. In the static case, this reflects our ignorance of related problems of the multi-dimensional calculus of variations, while for dynamics it reflects a corresponding ignorance of quasilinear systems of conservation laws.

The lecture will first describe several open problems in the calculus of variations, in which the central convexity condition of quasiconvexity plays a key role, and having a direct bearing on elastostatics. Then some open problems for elastodynamics will be described. Finally, the relation between statics and dynamics will be discussed.

Na wykładzie przedstawię problemy dotyczące liczby klas ideałów ciał kwadratowych urojonych i niezwykłe własności "charakterów rzeczywistych wyjątkowych". Wyeliminowanie istnienia tych charakterów jest podstawowym problemem w analitycznej teorii liczb, jednakże ich obecność jest również pomocna w badaniach rozmieszczenia liczb pierwszych.

Precesja-nutacja Ziemi jest zjawiskiem obserwowanym i modelowanym od ponad 21 wieków. Zainteresowanie tą problematyką wzrosło znacznie w ostatnich dekadach, głównie za sprawą pojawienia się w latach 1970-tych technik geodezji kosmicznej i satelitarnej. Badanie precesji-nutacji ma duże znaczenie praktyczne, polegające na wyznaczaniu i prognozowaniu zmian w czasie parametrów macierzy transformacji między układami współrzędnych niebieskich i ziemskich. Ma też istotne znaczenie poznawcze, ponieważ dostarcza cennych informacji dotyczących kształtu, wewnętrznej budowy i reologii Ziemi, oraz globalnego transportu mas i wymiany momentu pędu w układzie obejmującym część stałą planety (płaszcz) oraz ciekłe i gazowe otoczki (ocean, atmosferę, hydrosferę lądową oraz jądro). Celem prezentacji jest próba syntetycznego opisu zjawiska precesji-nutacji, ze szczególnym uwzględnieniem współczesnych metod obserwacji i modelowania. Omówimy pokrótce model IAU2000, za którego opracowanie międzynarodowy zespół naukowców został uhonorowany prestiżowym wyróżnieniem Unii Europejskiej - Descartes Prize 2003. Będzie przedstawiona również lista zagadnień i problemów, które w opinii autora wymagają kontynuacji badań.

Precesja-nutacja Ziemi jest zjawiskiem obserwowanym i modelowanym od ponad 21 wieków. Zainteresowanie tą problematyką wzrosło znacznie w ostatnich dekadach, głównie za sprawą pojawienia się w latach 1970-tych technik geodezji kosmicznej i satelitarnej. Badanie precesji-nutacji ma duże znaczenie praktyczne, polegające na wyznaczaniu i prognozowaniu zmian w czasie parametrów macierzy transformacji między układami współrzędnych niebieskich i ziemskich. Ma też istotne znaczenie poznawcze, ponieważ dostarcza cennych informacji dotyczących kształtu, wewnętrznej budowy i reologii Ziemi, oraz globalnego transportu mas i wymiany momentu pędu w układzie obejmującym część stałą planety (płaszcz) oraz ciekłe i gazowe otoczki (ocean, atmosferę, hydrosferę lądową oraz jądro). Celem prezentacji jest próba syntetycznego opisu zjawiska precesji-nutacji, ze szczególnym uwzględnieniem współczesnych metod obserwacji i modelowania. Omówimy pokrótce model IAU2000, za którego opracowanie międzynarodowy zespół naukowców został uhonorowany prestiżowym wyróżnieniem Unii Europejskiej - Descartes Prize 2003. Będzie przedstawiona również lista zagadnień i problemów, które w opinii autora wymagają kontynuacji badań.

The term null Lagrangians pertains to nonlinear differential expressions whose integral mean depends only on its boundary values. The building blocks of null Lagrangians are the Jacobian determinants of Sobolev mappings (having in mind applications to nonlinear elasticity such mappings are referred to as deformations of elastic bodies). Many peculiar properties of null Lagrangians play critical role in the calculus of variations (polyconvex integrands). Recent advances in harmonic analysis will be used to derive estimates of the null Lagrangians.

Everybody is welcome.

Silniki typu Halla (Hall thrusters lub stationary plasma thrusters) są stosowane do korekt orbity oraz pozycjonowania satelitów. Ostatnio także w dalekich misjach kosmicznych. Napęd uzyskuje się poprzez rozpędzanie jonów w skrzyżowanych polach - elektrycznym i magnetycznym. Do opisu plazmy stosować można bądź to podejście kinetyczne, bądź też znacznie prostsze podejście płynowe. W zasadzie opis płynowy stosuje się w przypadku, gdy średnia droga swobodna cząstek, l, jest znacznie krótsza aniżeli charakterystyczne rozmiary urządzenia L, tzn. l<<L. W naszym przypadku mamy relację odwrotną: L>>l. Tym niemniej, jak potwierdzają obliczenia numeryczne, opis płynowy daje rezultaty w zasadzie nie gorsze aniżeli opis kinetyczny. Nieliniowość równań prowadzi jednak do pojawiania się osobliwości. Trzeba wtedy uogólnić pojęcie rozwiązania. W płynie zdominowanym przez zderzenia uogólnienie prowadzi do fal uderzeniowych (skokowe nieciągłości rozwiązania). Gdy brak jest zderzeń - cząstki wolniejsze z przodu mogą być wyprzedzane przez cząstki szybsze z tyłu, co prowadzić będzie do wielowartościowych pól prędkości. To z kolei powoduje, że gęstości cząstek stają się w ogólności miarami. Tak więc pojęcie słabego rozwiązania jest tu zasadniczo różne od przypadku znanego dla zwykłych płynów. Eksperymenty zarówno fizyczne jak i numeryczne wykazują wiele niestabilności rozwiązań. Wydaje się więc, że możemy tu mieć również do czynienia z chaosem deterministycznym. Taka możliwość zostanie również przedyskutowana.

Klasyczne Twierdzenie o Indeksie Atiyaha-Singera wyraża indeks operatora eliptycznego w terminach klas charakterystycznych. W odczycie będzie mowa o niezmiennikach indeksu wyższego rzędu.

Zamierzam skomentować kilka (5-7) otwartych problemów dotyczących teorii ciał wypukłych w Rⁿ, teorii przestrzeni Banacha i teorii funkcji. Problemy są różnej dawności i nie zawsze znanego autorstwa. Wymagana wiedza do zrozumienia minimalna.

Przekształcenia kwazikonforemne i geometryczne zagadnienia wariacyjne takie jak teoria przekształceń harmonicznych w naturalny sposób prowadzą do teorii przekształceń Sobolewa między rozmaitościami, a nawet między przestrzeniami metrycznymi. Jedno z podstawowych pytań pojawiających się na samym początku teorii to pytanie o gęstość przekształceń gładkich w przestrzeni przekształceń Sobolewa (w przypadku przekształceń między przestrzeniami metrycznymi pytamy się o gęstość przekształceń lipschitzowskich). Omówię nowe rezultaty dotyczące związku między gęstością przekształceń i topologiczną strukturą rozmaitości i wielościanów.

Mimo iż bi-lipschitzowsko homeomorficzne przestrzenie metryczne na ogół uważa się w analizie na przestrzeniach metrycznych za równoważne, to jednak, jak pokażę, gęstość przekształceń lipschitzowskich może zostać utracona przy bi-lipschitzowskiej modyfikacji przeciwdziedziny.

Omówię też rezultaty dotyczące przynależności do przestrzeni Hardy'ego przeciągnięć form różniczkowych. Są to daleko idące uogólnienia ważnych rezultatów z pogranicza analizy harmonicznej i równań różniczkowych cząstkowych.

W 1967 Hillel Furstenberg wprowadził do teorii ergodycznej pojęcie rozłączności układów dynamicznych. Rozłączność układów implikuje ich ekstremalny nieizomorfizm. Związany z tym program badań polega na podzieleniu klasy wszystkich układów dynamicznych na rozłączne rodziny. W trakcie wykładu wskażemy na niektóre wyniki tej teorii związane z entropią oraz własnościami mieszającymi. Omówimy pewne, związane z pojęciem rozłączności, pojęcia: faktory, połączenia, operatory Markowa, relatywna teoria ergodyczna. W końcowej części wykładu będziemy porównywali układy dynamiczne pochodzenia probabilistycznego (układy Gaussa, zawieszenia Poissona) z gładkimi układami dynamicznymi na powierzchniach nawiązując do niedawno osiągniętych naszych, wspólnych z K. Frączkiem, wyników dotyczących potoków specjalnych nad przekładaniami odcinków.

Operatory i półgrupy operatorów Markowa opisują ewolucję gęstości rozkładów miar jednorodnych procesów Markowa i mają szerokie zastosowania w badaniu układów dynamicznych, równań dyfuzji i transportu. W ostatnich latach stosuje się je z powodzeniem w modelach biologicznych, między innymi w opisie cyklu komórkowego oraz w badaniu strukturalnych modeli populacyjnych. W czasie wykładu przedstawimy przykłady zastosowań i podamy podstawowe rezultaty dotyczące asymptotycznego zachowania się półgrup Markowa: asymptotyczną stabilność, wymiatanie, alternatywę Foguela.

I will survey the growth models introduced by the physicists: stochastic ones: Eden model, DLA (diffusion-limited aggregation), DBM (dielectric breakdown model) and the deterministic ones like Hele-Shaw flows. I will also show how Loewner differential equation allows to unify them.

W roku 2002 medal Fieldsa otrzymali dwaj matematycy zajmujący się geometrią algebraiczną. Jednym z nich jest Vladimir Voevodsky. Często wymienianym osiagnięciem laureata jest dowód hipotezy Milnora wiążącej K-teorię i kohomologie Galois. Obie te teorie opisują pewne arytmetyczne własności ciał. Dowód hipotezy Milnora wymaga rozwinięcia nowej teorii kohomologii dla rozmaitości algebraicznych. Wydaje się, że głównym wkładem Voevodsky'ego jest zastosowanie metod topologicznej teorii homotopii. Voevodsky rozszerzył świat rozmaitości algebraicznych i skonstruował kategorię homotopijną. Jest to w pewnym stopniu realizacja idei A. Grothendiecka, który postulował istnienie kategorii motywów. W kategorii Voevodsky'ego szczególną rolę odgrywają motywiczne kohomologie, których konstrukcja pochodzi od A. Suslina. Okazało się później, że są one izomorficzne z wyższymi grupami Chow zdefiniowanymi przez S. Blocha.

Postaram się wyjasnić główne idee i konstrukcje Voevodsky'ego. Nie będę zakładał znajomości K-teorii, kohomologii Galois, grup Chow itp.

W 1972 roku René Thom, dyskutując o nauczaniu szkolnym, zwrócił uwagę na to, że właściwą dziedziną logiki, rachunku zdań są jedynie „grube wiązania” rozumowania matematycznego, odpowiadające temu, co w psycholingwistyce określa się mianem struktur powierzchniowych, przeciwstawianych strukturom głębokim, biorącym udział w interpretacji semantycznej, w rozumieniu znaczenia wypowiadanych zdań. W odczycie przedstawiona będzie próba systematycznego rozwinięcia tej idei. W koncepcji trojakiego oblicza matematyki wyróżnia się: 1) idee głębokie, 2) formy powierzchniowe (wszelkiego rodzaju nazwy i symbole), które są niezbędnymi narzędziami umożliwiającymi zajmowanie się matematyką, stosowanie jej i przekazywanie; 3) modele formalne (w teoriach aksjomatycznych). Idea głęboka tworu matematycznego (pojęcia, twierdzenia, procedury itp.) to rozumienie sensu, znaczenia tego tworu. Na przykład, idea głęboka liczby π jest czymś innym, niż jej model π_D w teorii Dedekinda i jej model π_C w teorii Cantora (π_D i π_C są pewnymi zbiorami, przy czym π_D≠ π_C). Idee głębokie sterują rozumowaniem. Cechuje je semantyczna poprawność i m.in. odporność na dysonanse poznawcze. Na ogół mamy jakąś jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy ideą głęboką danego tworu, jego formą powierzchniową i jego modelem formalnym, ale istnieje wiele przykładów ważnych rozbieżności. W przypadku konfliktu pojęciowego idee głębokie biorą górę nad modelami formalnymi (pod warunkiem, że można uniknąć formalnej sprzeczności lub formalnego błędnego koła); najmocniejszym argumentem na rzecz tego stwierdzenia jest „zapętlenie poznawcze” dwóch formalnych definicji pary uporządkowanej w aksjomatycznej teorii mnogości. Idee głębokie są częścią tego, co określane bywa jako intuicja, jednakże słowo „intuicja” jest zbyt wieloznaczne; przegląd znaczeń, jakie matematycy nadają temu słowu, pokazuje, że obejmuje ono zjawiska o bardzo różnym charakterze, nieraz odległym od idei głębokich.

Fano varieties are very classical objects. In modern language, they are characterized by the property that -K is ample. It includes projective spaces, conic bundles, G/P etc. It was recently showed by Graber-Harris-Starr that a Fano variety has a rational point over a function field in char. 0. De-Jong and Starr proved the same result over a function field in char. p>0, under a supplementary assumption. We showed that over a finite field, a Fano variety has a rational point as well, thereby answering a classical conjecture by Lang and Manin. We will explain how the Fano condition is a special case of a much weaker assumption on Chow groups which implies the existence of a rational point.

In the 1970s J. W. Cannon promoted the goal of finding a short list of elementary properties, easily checked, which would distinguish n-dimensional manifolds among topological spaces. Cannon proposed that for n>4 the criterion might be that a metric space X is a topological n-manifold if and only if it is a generalized n-manifold possessing a mild general property called the Disjoint Disks Property (any two maps of a 2-cell B² into X can be approximated, arbitrarily closely, by maps with disjoint images). Cannon's proposal proved to be almost correct, and the story has intriguing contrasts with Torunczyk's characterization of Hilbert cube manifolds. This talk will define the relevant terms, will describe exactly how the classification of n-manifolds unfolded (n>4), will compare that classification with the one for Hilbert cube manifolds, and finally will describe recent work of T. L. Thickstun and the speaker which involves a different sort of general position property and which leads to a recognition criterion for 3-manifolds, assuming the 3-dimensional Poincare Conjecture is true.

Omówimy szereg nierówności dotyczących miar gaussowskich - nierówność izoperymetryczną, nierówność Ehrharda, nierówność Bobkowa, S-nierówność, hipotezę korelacyjną. Nierówności te znalazły istotne zastosowania w rachunku prawdopodobieństwa. Wszystkie przedstawione rezultaty mają elementarne sformułowania, ale dowody części z nich są dosyć złożone, a hipoteza korelacyjna pozostaje wciąż otwarta (udowodnione zostały jedynie jej szczególne przypadki).

Already Riemann knew that the Riemann sphere (or complex projective line) is the simplest Riemann surface (or algebraic curve). By the end of the XIXth century it also became clear that the corresponding "simplest" algebraic surfaces are the so called rational surfaces.

It is only in the last 10 years that the correct definition of the "simplest" higher dimensional algebraic varieties was found.

The aim of this lecture is to motivate and explain the definition - and its basic properties - mostly through examples.

Let (X,B,m,T) be a probability preserving transformation and let G be a locally compact, Polish (LCP) group. Given φ:X→G measurable, define the G-skew product T_φ:X×G→X×G by T_φ(x,y):=(Tx,φ(x)y). This preserves the product measure m×m_G (where m_G denotes left Haar measure on G) and it is natural to ask for the ergodic properties of T_φ.

I'll review some results and constructions (old and new) including an explanation of the Herman-Zimmer theorem that there is an G-skew product ergodic with respect to the product measure m×m_G if and only if G is amenable.

The field of geometric rigidity is concerned with various interesting nonlinear representations of groups, e.g. as fundamental groups of manifolds, or as diffeomorphisms of compact manifolds. The underlying methods involve interplay of Margulis' superrigidity and its derivatives, Gromov' theory of rigid geometric structures, and hyperbolic dynamics. The first ingredient is the most powerful tool but it is only applicable if the groups in question are sufficiently "rigid" themselves. The interplay of superrigidity and the theory of nonstationalry normal forms developed by M. Guysinsky and the author brought about major advances in the understanding of of local rigidity of actions of higher-rank lattices in semisimple Lie groups (A. K. - R. Spatzier, G.A. Margulis - N. Qian, V. Nitica - A. Torok, G.A. Margulis - D. Fisher). These developments will be briefly surveyed in the first part of the talk.

The main part of the talk will deal new global results. They are concerned with actions of higher-rank abelian groups on compact manifolds. Since those groups are amenable no purely measurable general tools like cocycle superrigidity are available. Hyperbolic dynamics sinuous semiconjugacy h between Φ and Φ₀ and μ is the only measure which is mapped to Lebesgue measure.

Needless to say, this result presents a sharp contrast to the rank one case where even for an Anosov map are close to a linear the topological conjugacy with the linear model is usually singular.

The problem of enumeration is well known in Combinatorial Analysis, Computer Science and Information Theory. There are well known methods for enumeration of permutations of numbers 1,2,...,n, for numerations of binary words of the length n with fixed numbers of ones and for many other combinatorial problems which have non-exponential memory and polynomial number of operations per letter when n goes to infinity. We describe a new method for these combinatorial problems which also uses non-exponential memory and enumeration time O(log n)^const operations.

The class of spherical space forms is an important class of manifolds considered in geometry, algebra and topology. In this talk we will discuss the classification questions for these manifolds from both unstable and stable point of view. The stable classification problem asks for a classification of these manifolds after multiplication by tori or Euclidean spaces.

Dalej "pierścień" znaczy "pierścień łączny".

Pierścień nazywa się nil, gdy dowolny jego element podniesiony do pewnej potęgi (zależnej od elementu) jest zerem. Istnieje wiele otwartych problemów dotyczących tego typu pierścieni. Niewątpliwie najsłynniejszym wśród nich jest postawiony w 1930 roku przez Koethe problem, który ma dość niepozorne sformułowanie: Czy każdy jednostronny nil ideał dowolnego pierścienia jest zawarty w pewnym dwustronnym nil ideale tego pierścienia?

Problem ten przyciąga uwagę od początku swego istnienia. Otrzymano wiele jego częściowych rozwiązań i znaleziono różne równoważne sformułowania. Badano też różne problemy pokrewne. Prace te doprowadziły do wielu ciekawych wyników, wśród których można wymienić rozwiązanie słynnego problemu Burnside'a z teorii grup.

W ostatnim czasie uzyskano w badaniu nil pierścieni istotny postęp. Przyczyniły się do tego przede wszystkim prace A. Smoktunowicz. Rozwiązała ona kilka starych problemów ściśle związanych z problemem Koethe, a także, uważany przez wielu za szczególnie trudny, problem Levitzkiego: Czy istnieje prosty nil pierścień?

Zamierzam omówić wymienione wyżej zagadnienia oraz inne główne wyniki i pytania. Będę starał się przedstawić je elementarnie, nie angażując zbyt wielu pojęć i nie wchodząc w techniczne detale.