Najbardziej znaną formą zasady nieoznaczoności jest zasada Heisenberga, w której nieoznaczoność położenia (i pędu) jest mierzona średnim kwadratowym odchyleniem od wartości średniej. Mówi ona, że iloczyn nieoznaczoności położenia i pędu musi być większy niż połowa stałej Plancka. Mam zamiar podać klasyczny dowód tej nierówności. Następnie pokażę, że zasada Heisenberga wynika z tzw. entropijnej zasady nieoznaczoności sformułowanej przez I. Białynickiego i J. Mycielskiego. Dowód entropijnej zasady nieoznaczoności jest oparty na dość wyrafinowanym wyniku dotyczącym normy transformaty Fouriera na prostej rzeczywistej jako odwzorowania z L^p do L^q (1/p+1/q=1, 1<p<2). Zastępując prostą rzeczywistą przez dowolną grupę lokalnie zwartą (a nawet przez grupę kwantową) dostajemy interesujące hipotetyczne nierówności, których dowód jest w większości przypadków sprawą otwartą. Wprawdzie dla grup kwantowych znany jest analogon twierdzenia Younga-Hausdorffa mówiący, że transformata Fouriera jest kontrakcją z L^p do L^q, ale dokładna wartość jej normy nie jest znana. Stała występująca w entropijnej zasadzie nieoznaczoności jest ważnym niezmiennikiem opisującym grupy kwantowe. Spodziewamy się, że dla grup lokalnie zwartych jest ona wyznaczona przez tzw. "niezwarty wymiar" grupy.

Macierzy A o wartościach własnych λ₁,...,λ_N można przypisać miarę probabilistyczną μ_A=N^-1(δ_λ1+...+δ_λN), która jest (z dokładnością do czynnika normalizującego) miarą liczącą wartości własne macierzy A.

L. G. Brown w roku 1983 pokazał, jak uogólnić powyższą konstrukcję, a mianowicie jak dowolnemu operatorowi x (o którym zakładamy, że jest elementem algebry von Neumanna wyposażonej w śladowy stan φ) przyporządkować miarę probabilistyczną, której nośnik jest zawarty w spektrum x.

Podstawową zaletą miary Browna (i jednocześnie źródłem poważnych trudności) jest to, że w jej definicji nie wymagamy, by operator x był samosprzężony ani też był normalny. Ponadto, jeśli x jest macierzą losową, wówczas tak zdefiniowana miara Browna pokrywa się ze średnią gęstością wartości własnych macierzy x.

Ponieważ miara Browna jest dobrze określona zarówno dla skończonych macierzy, jak i dla bardzo ogólnych operatorów, umożliwia to dowodzenie nietrywialnych własności operatorów na przestrzeni Hilberta poprzez badanie ich aproksymacji macierzowych. Głównym zastosowaniem tego pomysłu jest wynik Haagerupa z roku 2001 dotyczący istnienia podprzestrzeni niezmienniczych dla dużej klasy operatorów.

Nieprzyjemną cechą miary Browna jest to, że (podobnie jak np. spektrum) nie zachowuje się ona w sposób ciągły w topologii wyznaczonej przez np. normę operatorową, co bardzo zaciemnia wspomnianą wyżej odpowiedniość pomiędzy operatorami a ich macierzowymi aproksymacjami. W 2001 roku Haagerup pokazał, że ta poważna trudność może być przezwyciężona dzięki dodaniu do macierzy pewnych losowych poprawek. Wynik ten został następnie przeze mnie wzmocniony. Dowody te korzystają z pięknych metod klasycznej teorii prawdopodobieństwa oraz stochastycznych równań różniczkowych.

Odczyt zakończy przegląd kierunków dalszych badań w teorii algebr operatorowych i teorii macierzy losowych.

Wystąpienie będzie dotyczyło wyceny opcji na rynkach niezupełnych (z kosztami za transakcje). W pierwszej części wykładu zdefiniowane zostaną opcje, rynek zupełny i niezupełny oraz metody wyceny opcji. W dalszej części wykładu przedstawione zostaną wyniki dotyczące wyceny opcji europejskiej i amerykańskiej z kosztami za transakcje, uzyskane w pracy doktorskiej prelegenta Wycena opcji w czasie dyskretnym z kosztami za transakcje oraz późniejsze wyniki.

Przy rozważaniu skończeniewymiarowych modułów nad skończeniewymiarowymi algebrami w naturalny sposób pojawia się rozmaitość modułów. Interesującym zagadnieniem wydaje się badanie własności tych rozmaitości. W referacie przedstawię uzyskane samodzielnie i wspólnie z prof. Skowrońskim wyniki dotyczące rozmaitości modułów nad oswojonymi algebrami quasi-odwróconymi.

Chciałbym przedstawić ideologiczne podstawy modeli matematycznych obrazów i ich przesyłania. Przedstawię problemy matematyczne, do których te modele prowadzą. Omówię dokładniej pewne wyniki o aproksymacji m-członowej, które powstają w związku z przesyłaniem obrazów.

In this expository talk accessible to nonspecialists, I will illustrate spectacular new phenomena observed in the study of systems obtained from compositions of Euclidean Isometries. The rich landscape of phenomena of the systems is caused by the presence of discontinuities instead of hyperbolicity. The talk will be supplemented by an interactive computer presentation.

Studiując podstawy teorii reprezentacji (reduktywnych) grup Liego, można zauważyć, jak dużą rolę odgrywają w niej konstrukcje funktorialne, np. można w ten sposób uzyskać wszystkie reprezentacje proste z reprezentacji naturalnej. Ta prosta obserwacja dopiero niedawno została rozwinięta i usystematyzowana poprzez badanie związku między kategorią reprezentacji grupy liniowej a kategorią funktorów na przestrzeniach liniowych. Kategoria funktorów (nad ciałem dodatniej charakterystyki) okazała się bardzo ciekawa z punktu widzenia algebry homologicznej. Zamierzam omówić pewne interesujące i ważne obliczenia homologiczne w tej kategorii i ich konsekwencje dla kategorii reprezentacji. Wskazują one na głębokie związki między własnościami homologicznymi reprezentacji a np. jej strukturą blokową oraz sugerują możliwość systematycznego uprawiania algebry homologicznej w kategorii reprezentacji reduktywnej grupy algebraicznej nad ciałem dodatniej charakterystyki.

Wykład będzie dotyczył związków algebraicznej K-teorii ciał liczbowych z klasycznymi problemami i hipotezami arytmetyki.

This is an account of a recent joint work of A. Baernstein II, A. Fryntov, A. Solynin and the speaker.

Theorem. Let f be a holomorphic function in the unit disc U, and suppose that A=|f'(0)/f(0)|>4. Then the image f(U) contains a ring of the form r<|z|<Kr for some r>0, where K=K(A) is a continuous increasing function on [4,∞)→ [1,∞] defined as follows:
Let f_K:U→ C\{-K^n+1/2:n=0,±1,±2,...} be a holomorphic universal covering with f_K(0)=1. Then A(K)=|f'(0)|, and A(K) is the inverse function.