Wielokątne pola Markowa, skonstruowane po raz pierwszy w 1982 przez Araka, są losowymi układami dowolnie zagnieżdżonych nieprzecinających się wielokątnych konturów na płaszczyźnie. Pola te posiadają dwuwymiarową własność Markowa, własność niezmienniczości ze względu na izometrie, a ponadto znane są jawne wzory analityczne dla licznych ich charakterystyk numerycznych. Po nałożeniu odpowiedniego oddziaływania modyfikacje gibbsowskie takich układów przejawiają wiele własności analogicznych do dwuwymiarowego modelu Isinga.
Celem referatu będzie przedstawienie wyników prelegenta opisujących asymptotyczną geometrię tzw. separacji fazowej dla niskotemperaturowych wielokątnych pól Markowa w dziedzinie przejścia fazowego. Mówiąc nieformalnie, wielokątne kontury badanych układów można interpretować jako granice dwóch współzawodniczących i niemieszających się ze sobą faz (ośrodków, np. woda i olej) i poprzez zadawanie odpowiednich warunków (odpowiadających stosownemu doborowi parametrów oddziaływań) można powodować przewagę jednej bądź drugiej fazy. Ze współistnieniem i separacją faz mamy do czynienia, gdy warunki te nie faworyzują żadnej fazy. Pokażemy, że tworzą się wówczas makroskopowe „krople” jednej fazy zanurzone w drugiej, o geometrii zdeterminowanej minimalizacją powierzchniowej energii swobodnej. Na koniec wspomnimy o zastosowaniu wypracowanych dla potrzeb powyższych rozważań narzędzi teoretycznych do konstrukcji algorytmu do ... segmentacji obrazów cyfrowych, co jest obecnie tematem wspólnych badań we współpracy z M. C. van Lieshout (CWI Amsterdam) i R. Kluszczyńskim (UMK Toruń).
Let G be a locally compact Hausdorff second countable topological group. Examples are Lie groups and (countable) discrete groups.
Associated to G is a C* algebra known as its reduced C* algebra. A natural question is "What is the K-theory of this C* algebra?" Heuristically this means "What is the representation theory, in a topological sense, of the group G?" An answer to this question was conjectured twenty five years years ago by P. Baum and A. Connes. The conjecture has been proved for a number of interesting examples, and when true it has many corollaries. This talk will state the Baum-Connes conjecture and will indicate some of its corollaries. The talk is intended for non-specialists so the basic definitions will be explicitly given.
W 1993 roku Dwyer i Wilkerson zdefiniowali p-zwarte grupy, które są analogiem zwartych grup Liego zdefiniowanym w języku teorii homotopii.
Celem mojego odczytu będzie omówienie własności p-zwartych grup i porównanie ich z własnościami grup Liego. Przedstawię ponadto ich zastosowania oraz pewne narzędzia (tj. rozkłady homotopijne) stosowane w ich badaniu. Odczyt rozpocznie się od omówienia niezbędnych pojęć z topologii algebraicznej, aby wykład był zrozumiały dla osób zajmujących się innymi dziedzinami matematyki.
Teoria kompleksów grup została wprowadzona przez M. R. Bridsona i A. Haefligera, aby opisać działanie grup na jednospójnych kompleksach symplicjalnych za pomocą pewnych danych związanych z przestrzenią ilorazów tego działania. Są one naturalnym uogólnieniem teorii o tak zwanych grafach grup, wprowadzonej przez J. P. Serre'a. Pojęcie kompleksu grup można zinterpretować w języku lax funktorów, czyli tak zwanych prawie funktorów. Opowiem o wynikach i wnioskach, jakie udało mi się otrzymać patrząc na kompleks grup jako na lax funktor o wartościach w kategorii grup.
Z oczywistych względów kula euklidesowa jest centralnym obiektem zainteresowań ludzi, którzy zajmują się teorią symetrycznych ciał wypukłych w Rⁿ (i nie tylko ich). Mam zamiar przedstawić badania dotyczące kulistości, tzn. odległości, w sensie Banacha-Mazura, przekrojów i (dualnie) rzutów symetrycznych ciał wypukłych od kuli euklidesowej.
Przedstawię klasyczne Twierdzenie Johna, nierówność Santalo (prostą i odwrotną), współczesne izomorficzne wersje słynnego Twierdzenia Dvoretzkiego. Opowiem o „wnioskowaniu ze stosunku objętości” (ang. volume ratio argument) i, jak czas pozwoli, wspomnę o obecnie znanych jego ulepszeniach, a także opowiem o „kurczeniu się typowych rzutów” (standard shrinking argument). Zdefiniuję dla danego symetrycznego ciała wypukłego jego M-elipsoidę, tzn. elipsoidę o podobnym co to ciało rozkładzie objętości, sformułuję (głębokie) twierdzenie o jej istnieniu i przedstawię najważniejsze własności M-elipsoidy. Na końcu sformułuję słynne i zaskakujące twierdzenie V. D. Milmana o podprzestrzeni przestrzeni ilorazowej (Subspace of a Quotient Theorem) i przedstawię jego dowód z uprzednio omówionych faktów.
(Twierdzenie o podprzestrzeni przestrzeni ilorazowej, w języku symetrycznych ciał wypukłych, orzeka w szczególności, że każde takie n-wymiarowe ciało K ma obraz afiniczny B taki, że typowy (n/4)-wymiarowy przekrój typowego (n/2)-wymiarowego rzutu B jest kulisty - tzn. jest geometrycznie bliski kuli euklidesowej.)
Teoria martyngałów jest obecnie stosowana w każdym dziale teorii prawdopodobieństwa i posiada liczne związki i zastosowania w innych działach matematyki, m.in. w teorii operatorów singularnych, analizie funkcjonalnej i teorii funkcji analitycznych. Efektywność tej teorii opiera się na bardzo silnych nierównościach martyngałowych, które stanowią bardzo wygodne narzędzie umożliwiające uzyskanie wielu interesujących oszacowań.
Zajmiemy się jedną z metod służących do dowodzenia nierówności martyngałowych, pochodzącą od D. Burkholdera. Jest to bardzo elementarne podejście, z grubsza polegające na skonstruowaniu pewnej funkcji dwóch (lub więcej) zmiennych, posiadającej pewne dodatkowe „wypukłe” własności. Metoda ta, choć bardzo prosta, jest niezwykle efektywna, daje się stosować w wielu sytuacjach i pozwala uzyskiwać w nierównościach optymalne stałe. Z drugiej strony, wyznaczenie odpowiedniej funkcji jest często zadaniem bardzo trudnym.
Bilardy hiperboliczne są przykładami układów dynamicznych o dobrych własnościach statystycznych. W ciągu ostatnich 35 lat skonstruowano kilka klas takich bilardów. W wykładzie opowiem o współczesnym zrozumieniu mechanizmu hiperboliczności w układach bilardowych.
W referacie opowiem, czym są tytułowe rozmaitości. Naszkicuję także dowód twierdzenia, które klasyfikuje pewne szczególne podrozmaitości legendrowskie (dokładniej te, których ideał jest generowany przez wielomiany stopnia 2), i spróbuję wyjaśnić, do czego taka klasyfikacja może się przydać.
Treść tego odczytu pochodzi z mojej pracy magisterskiej oraz późniejszych badań.
Przedstawię wprowadzenie do teorii grup kwantowych i operatorów multyplikatywnych unitarnych. Grupy kwantowe są obiektami uogólniającymi grupy lokalnie zwarte w sposób analogiczny do uogólnienia teorii grup skończonych przez teorię skończeniewymiarowych algebr Hopfa. Najnowsze podejście do badania grup kwantowych polega na badaniu pewnych specjalnych operatorów na iloczynach tensorowych przestrzeni Hilberta przez siebie. Są to tak zwane operatory multyplikatywne unitarne (nazwa jest tu myląca - nie będziemy ich mnożyć). Podam kilka przykladów takich operatorów i wyjaśnię ich własności.
Wykład poświęcony będzie różnym aspektom niezmienników różniczkowych w matematyce. Zaprezentowane zostaną interesujące problemy badawcze.
Każdy zorientowany węzeł da się przedstawić w postaci domkniętego warkocza. Wśród tych warkoczy są takie, które mają minimalną możliwą (dla rozpatrywanego węzła) liczbę pasm. Klasyczna hipoteza mówi, że dla takich warkoczy (z minimalną liczbą pasm) suma znaków skrzyżowan jest jednoznacznie wyznaczona. Ta hipoteza ciągle pozostaje nierozstrzygnięta. W odczycie będzie mowa o tym, co przemawia za, a co przeciw niej. Pokażę także pewną hipotezę z zakresu teorii grafów, związaną luźno ze wspomnianą hipotezą z teorii węzłów. Hipoteza z teorii grafów, zależnie od tego, czy prawdziwa, czy fałszywa, może dostarczać wsparcia dla wyjściowej hipotezy z teorii węzłów lub kandydatur na kontrprzykłady.
Hipoteza Vaughta stwierdza, że jeśli dana teoria ma nieprzeliczalnie wiele modeli przeliczalnych, to ma ich continuum. Została postawiona przez Vaughta w roku 1959 (na kongresie w Warszawie) i do dziś pozostaje otwarta. Znane są wyniki cząstkowe. Są to jej dowody dla szczególnych klas teorii, np. dla teorii całkowicie przestępnych (Shelah, 1984) czy teorii superstabilnych skończonej rangi (Buechler, 1993). Uogólnieniem jest tzw. topologiczna hipoteza Vaughta, która należy do deskryptywnej teorii mnogości i przyczyniła się do jej rozwoju. W odczycie postaram się wyjaśnić, dlaczego uważam tę hipotezę za ważną i ciekawą. Postaram się uzasadnić, że hipoteza ta dotyczy z jednej strony roli liczby kardynalnej aleph1 w matematyce, z drugiej zaś klasyfikacji modeli przeliczalnych.
Wacław Sierpiński udowodnił w 1920 roku, że istnieją zbiory miary Lebesgue'a zero X,Y zawarte w R takie, że zbiór X+Y={x+y: x\in X, y\in Y} jest niemierzalny.
W moim referacie przedstawię kilka współczesnych wyników stanowiących wzmocnienia i uogólnienia rezultatu Sierpińskiego. W szczególności zaprezentuję również moje własne twierdzenie mówiące, że nawet mocniejszy fakt prawdziwy jest nie tylko dla zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a, ale dla bardzo szerokiej klasy sigma-ciał posiadających tzw własność zbioru doskonałego.
Prezentowana tematyka cechuje się twierdzeniami zrozumiałymi i - mam nadzieję - interesującymi dla szerokiej rzeszy matematyków. Dowody wykorzystują (mniej lub bardziej zaawansowany) aparat związany z teoriomnogościową strukturą prostej rzeczywistej. Dołożę starań, żeby odczyt był zrozumiały dla szerokiej publiczności, ale interesujący również dla osób obeznanych z tą tematyką.
Podstawowe definicje Slajdy z wykładu
Proces stochastyczny jest zjawiskiem losowym odgrywającym się w czasie. Podstawowa optyka polega na tym, by na ten proces spojrzeć w ustalonym momencie i zadawać pytania o to, co zobaczymy. Można tę optykę jednak odwrócić i zadawać pytanie następujące: jak patrzeć na ruch Browna, by dojrzeć w nim pewien ustalony obiekt? Obiektem tym może być po prostu miara probabilistyczna, ale może być to także cały inny proces. Ta optyka nazywana jest problematyką zanurzeń Skorochoda. W moim referacie chciałbym przedstawić najważniejsze wyniki, pokazując główne pomysły, jakie stoją za ich dowodami. Opowiem zarówno o klasycznym twierdzeniu Dambis-Dubins-Schwarz czy ogólnym twierdzeniu Monroe, jak również o pewnych szczegółowych konstrukcjach, jak rozwiązania Azemy-Yora czy Chacona-Walsha. Postaram się zobrazować bogactwo metodologiczne dowodząc pewnych twierdzeń przez (prostą) teorię potencjału, innych zaś przez teorię martyngałów lub czasów lokalnych. Wykład będzie dosyć elementarny i nie wymaga głębszego przygotowania niż znajomość ruchu Browna i twierdzeń o stopowaniu.
Piecewise isometries in the plane have a rich landscape of dynamical and geometric phenomena. In this multimedia talk we will illustrate geometric, algebraic and computer tools used in the discovery process. The talk will include open questions and it will be accessible to nonexperts.
Prelegent zachęca do obejrzenia strony: http://dynamics.sfsu.edu/goetz/
Hipoteza o zerach mówi, że pierwiastki f-wielomianu (funkcji generującej liczby ścian) flagowego symplicjalnego wielościanu są rzeczywiste. Pokażemy, że hipoteza ta jest prawdziwa, jeśli wymiar sfery jest mniejszy niż 5, oraz skonstruujemy pięciowymiarowy kontrprzykład. Motywacja hipotezy o zerach jest z jednej strony geometryczna (hipoteza Hopfa o niedodatnio zakrzywionych rozmaitościach wraz z kombinatorycznym analogiem znanym jako hipoteza Charney i Davisa), a z drugiej kombinatoryczna: istnieje zadowalający opis wielomianów, które są f-wielomianami symplicjalnych wielościanów, nie ma takiego (nawet fragmentarycznego) opisu dla wielościanów flagowych (które bardzo interesują Geometrów). Postawimy hipotezę słabszą niż brak nierzeczywistych pierwiastków, ale silniejszą niż hipoteza Charney i Davisa, wraz z listą częściowych wyników ją motywujących.
The central theme of this lecture is about deformations of surfaces and domains in the complex plane. The theory of such deformations has arisen out of a need to extend the ideas and applications of the classical theory of quasiconformal mappings. There one finds concrete applications in material science, particularly nonlinear elasticity. We initiate the study of extremal problems for deformations by considering integral averages of the distortion function instead of the supremum norm.
Przedstawimy w sposób nietechniczny szkic jednego z najsłynniejszych zastosowań metody bezpośredniej rachunku wariacyjnego - do rozwiązania zagadnienia Plateau, czyli do dowodu istnienia powierzchni minimalnej rozpiętej na zadanej krzywej zamkniętej w przestrzeni.