Numeryczna aproksymacja semiklasycznego równania Schrödingera jest ekstremalnie trudna z powodu pewnego, małego parametru rodzącego wysokie oscylacje rozwiązania. Standardowe podejście numeryków to:
(a) semidyskretyzacja zagadnienia (względem zmiennej przestrzennej)
(b) rozwiązanie otrzymanego układu ODE
(c) aproksymacja funkcji wykładniczej za pomocą metody "exponential splitting". (Na przykład rozdzielenie Stranga, lub metoda Yoshidy)
To rozwiązanie wykorzystuje spektralną zbieżność w dyskretyzacji przestrzennej, która wydaje się być bezużyteczną w obliczu słabej zbieżności względem zmiennej czasowej! Proponujemy nową metodę:
(a) pomijamy wstępną semidyskretyzację,
(b) opieramy się na rozważaniach Algebry Liego generowanej przez Laplasjan oraz potencjał,
(c) analizujemy równanie ewoluujące w Grupie Liego,
(d) wyprowadzamy nowe, ASYMPTOTYCZNE rozdzielenie wykładników,
(e) ostatecznie przystępujemy do semidyskretyzacji.

W miarę możliwości (i wytrzymałości słuchaczy:-) opowiem o analogicznej metodzie numerycznej w przypadku potencjału zależnego od czasu, gdzie wykorzystujemy rozwinięcie Magnusa. Czasowa zależność potencjału równoważna jest działaniu laserem na układ kwantowy. Okazuje się, że nasza metoda numeryczna jest to krokiem milowym w kierunku problemu kontrolowania układów kwantowych, do którego właśnie teraz stosujemy nasze Wyniki otrzymane zostały z Philippem Baderem (La Trobe University), Arieh Iserlesem (Cambridge University, UK), Pranavem Singhiem (Cambridge University, UK). Prace and kontrolowaniem układów kwantowych trwają we współpracy z Arieh Iserlesem (Cambridge University, UK), Siną Ober-Blobaum (Oxford University, UK), Pranavem Singhiem (Cambridge University, UK)