Andrzej Schinzel

M.in. podany będzie dowód, że dla n=5, a,b,c wymiernych, a>0, b>0, c²<ab układ ma rozwiązanie w liczbach wymiernych x_i,y_i.

Bartłomiej Bzdęga

Niech n będzie iloczynem k różnych nieparzystych liczb pierwszych. Udowodnię, że n-ty wielomian podziału koła posiada co najmniej n^1/k niezerowych współczynników dla k=2,3. Ponadto wykażę, że dla k=2 wykładnika 1/2 nie można zwiększyć, i oszacuję liczbę tych n1/2 +ε niezerowych współczynników.

Andrzej Paszkiewicz

Opowiem o wynikach badań rozproszonych nad rzadkimi wielomianami nieprzywiedlnymi nad GF(p) dla kilku początkowych liczb pierwszych p. Skupię się na trójmianach, pięciomianach oraz najmniejszych w sensie porządku leksykograficznego wielomianach nieprzywiedlnych nad GF(2). W szczególności pokazę kontrprzykłady obalające pewną hipotezę von zur Gathena dotyczącą najmniejszych wielomianów nieprzywiedlnych. Spróbuję też, w oparciu o wyniki badań, sformułować pewne przypuszczenia i pytania. Pokażę także przykłady nowych rzadkich trójmianów nierozkładalnych wysokich stopni nad GF(2).

Maciej Ulas

Niech f będzie funkcją rosnącą z N do N (N - zbiór liczb naturalnych). W referacie przedstawię kilka wyników dotyczących równań typu y²=BU_n+A, gdzie A, B są liczbami całkowitymi i U_n=f(1)f(2)…f(n). W szczególności, dowiodę, że istnieje nieskończenie wiele takich całkowitych A, że równanie y²=x!+A ma co najmniej trzy rozwiązania w liczbach całkowitych (x,y).

Jerzy Browkin

Podam rozwiązanie problemu dotyczącego sum trzech kwadratów, sformułowanego na seminarium 10 lutego b.r. i analogicznego problemu dla sum dwóch kwadratów.

Maciej Zakarczemny

Udowodnię twierdzenie:

Twierdzenie. Dla wszystkich skończonych grup abelowych $G$, wszystkich $a_i$ w $G$ i wszystkich dodatnich, całkowitych $b_i$ $(i=1,2,\ldots,k)$ liczba rozwiązań $N(a_1,b_1;a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k)$ równania $\sum\limits_{i=1}^k a_ix_i = 0$, w całkowitych $0\le x_i\le b_i$ spełnia nierówność $N(a_1,b_1;a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k) \geq 2^{1-D(G)}\times\prod\limits_{i=1}^k(b_i+1)$, gdzie $D(G)$ jest stałą Davenporta grupy $G$.

Jerzy Browkin

Zamierzam podać przykład wielomianu, którego ciało rozkładu ma bardzo dużą liczbę klas, i skomentować ten przykład. W szczególności, czy ma znaczenie to, że grupa Galois tego wielomianu jest grupą kwaternionów.

Maciej Zakarczemny

Udowodnię twierdzenie: Dla każdej skończonej grupy abelowej $G$ i każdego wektora $[a_1,\ldots,a_k]\in G^k$ liczba rozwiązań równania $\sum_{i=1}^k a_i x_i=0$ w nieujemnych całkowitych $x_i\le b_i$ jest co najmniej równa $2^{1-|G|}\prod_{i=1}^{k}(b_i+1)$.

Andrzej Schinzel

Na posiedzeniu prof. A. Schinzel poda dowód twierdzenia o pierwiastkach pierwotnych i wyprowadzi stąd rozwiązanie problemu A. Paszkiewicza. Będzie to kontynuacja odczytu z poprzedniego seminarium.

Andrzej Schinzel

W pierwszej części seminarium prof. Schinzel udowodni wspólne uogólnienie twierdzeń Hassego i Lubelskiego:

Twierdzenie. Niech k będzie skończonym rozszerzeniem Q i niech f(x) będzie wielomianem nad k. Jeśli dla prawie wszystkich ideałów pierwszych p ciała k f(x) ma mod p co najmniej v czynników liniowych, to f jest podzielne przez iloczyn v+1 czynników z k[x]\k lub f jest iloczynem v czynników liniowych z k[x].

W drugiej części seminarium prof. Schinzel rozpocznie referat o następującym problemie A. Paszkiewicza: jaka jest gęstość liczb pierwszych z daną najmniejszą nieresztą kwadratową i z danym najmniejszym pierwszym pierwiastkiem pierwotnym.

Andrzej Schinzel

Będzie m.in. podana odpowiedź na pytanie Nagella z 1919 r., jaki jest najmniejszy stopień pierwotnej formy dwójkowej, której wszystkie wartości w punktach całkowitych dzielą się przez n!.

Andrzej Schinzel

1. Uwagi o wielomianach Sterna

Będzie udowodnione, że dla żadnej liczby pierwszej p wielomian B_p, wprowadzony na poprzednim seminarium przez dr. M. Ulasa, nie ma dzielnika właściwego stopnia 1, 2 lub 3.

2. O dzielnikach stałych wielomianów wielu zmiennych

Początek referatu, w którym będzie m.in. podana odpowiedź na pytanie Nagella z 1919 r., jaki jest najmniejszy stopień pierwotnej formy dwójkowej, której wszystkie wartości w punktach całkowitych dzielą się przez n!.

Maciej Ulas

Niech n będzie liczbą naturalną. Zdefiniujmy rodzinę wielomianów {B_n(t)} w następujący sposób:

B₀(t)=0, B₁(t)=1,

B_2n(t)=tB_n(t),

B_2n+1(t)=B_n(t)+B_n+1(t).

Wielomian B_n(t) nazywamy n-tym wielomianem Sterna. Ciąg tych wielomianów jest naturalnym uogólnieniem ciągu Sterna, który otrzymujemy dla t=1. Tak określony ciąg wielomianów pojawił się w pracy S. Klavzara, U. Milutinovica i C. Petra (Stern polynomials, Adv. Appl. Math. 39 (2007), 86–95). W referacie przedstawię kilka interesujących własności tych wielomianów. Obiektem moich zainteresowań będzie również ciąg stopni e(n)=deg B_n(t).

Andrzej Schinzel

Przedstawiony zostanie początek dowodu następującego twierdzenia. Niech F_i(X_i) (i=1,2,…) będą formami nieosobliwymi od rozłącznych wektorów zmiennych X_i. Istnieje taka liczba naturalna s₀, że dla każdego s każda liczba całkowita przedstawialna przez sumę F₁(X₁)+…+F_s(X_s) nad Z jest już przedstawialna przez sumę F₁(X₁)+…+F_s₀(X_s₀) nad Z.

Andrzej Schinzel

Podany będzie dowód następującego twierdzenia z pracy wspólnej z J. Browkinem. Dla dowolnych liczb całkowitych r,s istnieją takie pary całkowite <x,y>, że x≠y, rx²+s i ry²+s mają te same czynniki pierwsze oraz min{x,y} jest dowolnie duże.

Mariusz Skałba

Udowodnimy następujace twierdzenie:

Wymierny ciąg rekurencyjny trzeciego rzędu, niezdegenerowany, o nierozkładalnym wielomianie charakterystycznym, jest sumą skończenie wielu kwadratów rzeczywistych ciągów rekurencyjnych wtedy i tylko wtedy, gdy we wzorze jawnym wszystkie wartości własne i wszystkie współczynniki przy ich potęgach są dodatnie. Gdy te warunki są spełnione, wówczas wystarczy 6 kwadratów ciągów wymiernych.

Udowodnimy również, że ciąg: x_n=2ⁿ+(1/3)ⁿ-1 nie jest sumą kwadratów (mimo że dla każdego n całkowitego, a nawet rzeczywistego, mamy nierówność x_n>0!)

Maciej Ulas

W referacie przedstawię kilka nowych wyników dotyczących rozkładalności trójmianów o współczynnikach wymiernych. W szczególności udowodnię, że nie istnieje trójmian postaci x⁶+ax+b, który rozkłada się na iloczyn trzech wielomianów nierozkładalnych stopnia 2.

Andrzej Schinzel

Udowodniony będzie warunek konieczny i dostateczny na to, aby równanie ax^m+bxⁿ+c=dy^p+ey^q (a,b,d,e≠0), gdzie m>n>0,p>q>0 i m>p>2 lub m=p>2, n>=q, miało nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych z ograniczonym mianownikiem. W ubiegłym roku akademickim był referowany taki warunek przy dodatkowym założeniu, że (m,n)=(p,q)=1.

Mariusz Skałba

Znane jest twierdzenie Pourcheta z 1971 roku (Acta Arithmetica) mówiące o tym, że każdy wielomian jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, który przyjmuje tylko wartości nieujemne, jest sumą pięciu kwadratów wielomianów o współczynnikach wymiernych. Na seminarium udowodnimy podobne twierdzenie dla ciągów rekurencyjnych liniowych drugiego rzędu.

Karol Cwalina

Podczas seminarium rozważymy kongruencję a₁x₁+…+a_kx_k=0 (mod n), 0≤x_i≤b_i, przy ustalonych naturalnych a₁,…,a_k. Pokażemy, że liczba rozwiązań tej kongruencji wynosi co najmniej (1+b₁)…(1+b_k)/2^n-1, a więc zgodnie z oczekiwaniami jest proporcjonalna do „objętości” zbioru dopuszczalnych wektorów (x₁,…,x_k), a stała proporcjonalności 2^1-n jest przy tym najlepszą możliwą. Tym samym udowodnimy hipotezę postawioną przez prof. Schinzla.

Maciej Ulas

W referacie pokażę, że dla każdej czwórki krzywych eliptycznych określonych nad ciałem liczb wymiernych z j-niezmiennikiem 0 istnieje wielomian D o współczynnikach całkowitych taki, że skręcenie stopnia sześć tych krzywych przez D ma dodatnią rangę nad Q(t). Analogiczny rezultat zostanie udowodniony dla krzywych z j-niezmiennikiem 1728. W referacie zostaną również przedstawione możliwe uogólnienia otrzymanych rezultatów.

Andrzej Schinzel

Dla liczb bezkwadratowych m każdy zbiór reszt mod m zawierający co najmniej m/2 elementów zawiera reszty r₁, r₂, r₃ takie, że r₁*r₂=r₃. W referacie zajmę się pytaniem, na jakie liczby m da się to twierdzenie rozszerzyć.

Jarosław Wróblewski

Na wykładzie będą przedstawione wyniki komputerowych obliczeń teorioliczbowych dotyczących różnorakich układów liczb pierwszych, równych sum potęg oraz związanych z hipotezą ABC.

Andrzej Schinzel

Dwa twierdzenia o równaniu ax^m+bxⁿ+c=dy^p+ey^q otrzymane wspólnie z G. Peterem i A. Pinterem.

Władysław Narkiewicz

Omówionych będzie kilka otwartych, a mało znanych, problemów dotyczących różnych działów teorii liczb, w tym arytmetyki wielomianów, kombinatoryki, arytmetyki procesów dynamicznych, funkcji arytmetycznych i algebraicznej teorii liczb.

Grzegorz Banaszak

Podczas wykładu omówiona zostanie globalno-lokalna zasada (względem przekształceń redukcji) dotycząca zależności liniowej punktów nietorsyjnych w grupach Mordella-Weila rozmaitości abelowych nad ciałami liczbowymi. Odpowiednia globalno-lokalna zasada dotycząca elementów grupy multiplikatywnej ciała liczbowego została zauważona po raz pierwszy w połowie lat 70. przez Prof. A. Schinzla.

Bogdan Szydło

Podajemy formułę dokładną w terminach funkcji podzielników dla sumy (po wagach) iloczynów L-funkcji Heckego form parabolicznych pełnej grupy modułowej. Jako wniosek otrzymujemy nieznikanie wartości L-funkcji Heckego w punkcie centralnym 1/2 i dowolnym innym ustalonym punkcie dla nieskończenie wielu form parabolicznych.

Marcin Pilipczuk

Kontynuując referat Piotra Hofmana o ciągu EKG (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A064413), przedstawię szkic dowodu naszego wyniku dotyczącego asymptotycznego zachowania tego ciągu: a_n-n = O(n/logloglog n). Dowód, poza wykorzystaniem twierdzenia Mertensa, jest elementarny i opiera się o proste obserwacje poczynione przez Piotra w jego wystąpieniu.

Andrzej Schinzel

Dowodzi się, że wśród każdego zbioru dzielników liczby bezkwadratowej liczącego więcej niż połowę wszystkich dzielników jest albo liczba 1, albo trzy dzielniki, których iloczyn jest kwadratem. Rozważa się możliwe uogólnienia.

R. Marszałek

Plan wykładu:

Krótki przegląd teorii dotyczącej addytywnej struktury Galois pierścienia liczb całkowitych - wyniki A. Frohlicha i M. Taylora.
Opis grupy klas pierścienia grupowego jako grupy homomorfizmów z grupy charakterów w grupę ideli.
Reprezentacja grupy jednostek pierścienia liczb całkowitych rzeczywistego ciała abelowego za pomocą tzw. resolwenty logarytmicznej.
Zastosowanie ww. reprezentacji do badania istnienia tzw. jednostek Minkowskiego - podanie nowej klasy ciał posiadających jednostki Minkowskiego.

Alfred Czogała

Zapoczątkowana przez Knebuscha, w latach 70-tych ubiegłego stulecia, teoria przestrzeni dwuliniowych nad pierścieniami stanowi naturalne uogólnienie teorii form kwadratowych nad ciałami.

Podstawowym obiektem badań tej teorii jest (podobnie jak w przypadku ciał) pierścień Witta, zaś jego opis należy do głównych jej problemów.

Problem ten wydaje się szczególnie interesujący w odniesieniu do podpierścieni ciał globalnych i to z dwóch powodów: z jednej strony ze względu na znaczenie tych pierścieni w teorii liczb, z drugiej na możliwość wykorzystania narzędzi wypracowanych w teorii form kwadratowych nad ciałami globalnymi.

Na wykładzie będą przedstawione najważniejsze rezultaty dotyczące pierścieni Witta podpierścieni ciał globalnych, jakie w ostatnim czasie zostały uzyskane w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Śląskiego.

Stefan Barańczuk

Niech K będzie ciałem liczbowym. Niech x będzie elementem nietorsyjnym tego ciała. Interesują nas możliwe rzędy punktu x modulo v, gdzie v jest ideałem pierwszym ciała K. Wynik A. Schinzla mówi, że istnieje liczba N, zależna tylko od stopnia elementu x taka, że dla każdego n>N istnieje ideał v taki, że rząd x mod v jest równy n.

Pokażemy, że ograniczając uwagę do grup S-jedności ciała K możemy uzyskać podobny wynik dla niektórych liczb n<N. Wynik jest inspirowany przez analogiczne twierdzenie J. Cheon i S. Hahn dla krzywych eliptycznych. Dla dowodu użyjemy funkcji wysokości analogicznych do tych na krzywej eliptycznej.

Piotr Hofman

Przedstawimy wspólne wyniki z M. Pilipczukiem na temat ciągu EKG. Ciąg EKG jest ciągiem liczb naturalnych (a_n) takim, że a₁=2, zaś a_n dla n≥2 jest najmniejszą liczbą, która nie pojawia się wcześniej w ciągu i nie jest względnie pierwsza z a_n-1. Nazwa ciągu wiąże się z jego wykresem, który przypomina wykres rejestrowany przy badaniu EKG.

Ciąg ten, odkryty przez J. Ayresa, został gruntownie zbadany metodami eksperymentalnymi przez J. C. Lagariasa, E. M. Rainsa i N. J. A. Sloane'a, którzy udowodnili kilka faktów oraz na podstawie doświadczen sformułowali kilka hipotez. Na wykładzie udowodnimy pewne z tych hipotez. Powiemy również o nadal otwartych hipotezach dotyczących ciągu.