Marek Wolf

We will present heuristic arguments leading to the formula for the number of pairs of consecutive primes $p_n, p_{n+1}<x$ separated by gap $d=p_{n+1}-p_n$ expressed directly by $\pi(x)$, i.e. the number of all primes $<x$. We use this formula to discuss the problem of champions (most often occuring gaps), to find the maximal gap between two consecutive primes smaller than $x$ represented by $\pi(x)$, to derive a closed expressions for the moments of gaps between consecutive primes, generalized Brun's constants and next the new formula for first appearance of primes separated by gap $d$. We derive from our guesses the leading term $\log \log(x)$ in the prime harmonic sum. Finally we discuss the Andrica Conjectures. We illustrate these topics by extensive computer data collected up to $2^{48}=2.81\ldots 10^{14}$.

Andrzej Schinzel

Theorem 3. For every prime $p$ and $r=0,1,p-1$ the number $A_{p,r}(m)$ of indices $n<m+1$ such that $b_n=rb_{n+1}\mod p$ satisfies $\lim A_{p,r}(2^n)/2^n=1/(p+1)$.

P. Pollock ( proved that for every $q>2$ and every $a$ in $\mathbb F^*_q$ there are infinitely many twin prime polynomials $f,f+a$ in $\mathbb F_q[T]$.

Andrzej Schinzel

The Stern sequence $b_n$ was defined by Stern in 1858 by the conditions $b_0 = 0$, $b_1 = 1$, $b_{2n} = b_n$, $b_{2n+1}= b_n + b_{n+1}$. The following theorem holds.

Theorem. For all primes $p<10$ and for all residues $r \mod p$ the natural density of indices $n$ such that $b_n \equiv rb_{n+1}\pmod p$ is $1/(p+1)$.

It is conjectured that the condition $p<10$ is superfluous.

William Mance

We will discuss basic properties of normal numbers for the Cantor series expansions and a recent result of D. Airey and B. Mance. Using ideas introduced in this paper, it may be possible to show that information about algebraic varieties is encoded in the structure of sets of normal numbers. We will outline this idea and the barriers one may encounter in finishing it.

Mariusz Skałba

It is a joint work of A. Schinzel, M. Skałba. It will be proved:

For every integer $d\neq 0$, every real number $\varepsilon>0$ and every prime $p>p_0(d,\varepsilon)$, $p\equiv 1\pmod{8}$, $(d/p)=1$, there exists a prime $q<p^{2/3+\varepsilon}$ such that $$ \left(\frac{d}{q}\right)=1\ \mbox{ and }\left(\frac{p}{q}\right)=-1. $$ For $d=-1,2$, $\varepsilon=1/3$ one can take $p_0(d,\varepsilon)=0$.

Mariusz Skałba

Niech dla $n>1$ liczba $w(n)$ oznacza największy wykładnik potęgi, która jest iloczynem różnych liczb spośród $2,3,\dots,n$. Tak np. $w(11)=6$, gdyż $2\times 4\times 8=2^6$. Udowodnimy, że $$w(n)>n/\exp((2^{1/2}+\varepsilon)((\log n \log \log n)^{1/2}))$$ oraz $$w(n)<n/\exp((2^{1/2}/2-\varepsilon)((\log n \log \log n)^{1/2})),$$ gdzie $\varepsilon>0$ i nierówności zachodzą dla $n>n(\varepsilon)$.

Andrzej Schinzel

Niech dla danego całkowitego $n>0$, $a(n)$ będzie najmniejszą taką liczbą naturalną $m$, że dla każdego całkowitego $b$ zachodzi kongruencja $b^n=b^{a(n)} \pmod n$.
Wówczas dla $n>8$, $a(n)\le n/3$.

Andrzej Schinzel

1. Niech $t_m(n)$ będzie to suma składników $(-1)^{s_2(i_1)+s_2(i_2)+\ldots+s_2(i_m)}$ po wszystkich rozkładach $n=i_1+i_2+\ldots+i_m$ na sumę liczb całkowitych nieujemnych, gdzie $s_2(i)$ jest sumą cyfr dwójkowych $i$, $2^{\nu_2(m)}\parallel m$. Wówczas
A. Dla wszystkich $n \ge 0$, jeżeli $m=t_2(n)$, to $t_2(n)=-t_2(n')$, gdzie $$ n'=n+(-1)^{\nu_2(m)+(m-2^{\nu_2(m)}/2^{\nu_2(m)+1}}2^{\nu_2(n)+1} $$ B. $t_m(n)\ne0$ dla $m>n^2/\log n$

2. Jedynymi takimi wielomianami $W(x)$ stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, że $W(x)$ jest potęgą liczby pierwszej, gdy $x$ jest liczbą pierwszą, są $W(x)=x^n$ $(n=1,2,\dots)$.

Paweł Karasek

W ramach odczytu przedstawione zostaną propozycje wzmocnienia tw. Maynarda na temat k-tek liczb prawie pierwszych (jego pracę na ten temat znaleźć można tu: Proponowane metody obejmą wielowymiarowe sito Selberga oraz metodę dyspersji Linnika.

Andrzej Schinzel

Tw. 2. Gęstość takich wskaźników $n$, że $(x+1)^2|B_n(x)$, jest $0$.

Tw. 3. Jeżeli $\Phi_e(x)$ jest wielomianem cyklotomicznym rzędu $e>2$, to dla każdej liczby naturalnej $m$

$ \#\{0 \le k<m: \Phi_e(x)|B_k(x)\} \le 1+\lfloor (m-1)/\Phi_e(2)\rfloor. $
Ponadto, jeżeli $m=2^a>2$ lub $m=2\cdot 3^a>2$, to
$ \#\{0 \le k<m: \Phi_e(x)|B_k(x)\} \le 1+\lfloor (m-1)/3\cdot \Phi_e(2)\rfloor. $

Tw. 4. Gęstość takich wskaźników $n$, że wielomian $B_n(x)$ jest zwrotny, jest $0$.

Andrzej Schinzel

Niech $B_0(x)=0$, $B_1(x)=1$, $B_{2n}(x)=xB_n(x)$, $B_{2n+1}(x)=B_n(x)+B_{n+1}(x)$.
Twierdzenie. Dla każdej liczby cał kowitej algebraicznej $1/t$ różnej od pierwiastkow z $1$ naturalna gęstość takich wskaźników $n$, że $B_n (t)=0$, jest $0$.

Andrzej Schinzel

Tw. 2. H pociąga za sobą:
Niech $K$ cialo liczbowe, $O_K$ pierścień liczb całkowitych $K$, $f_1,f_2,\dots,f_k$ wielomiany w $O_K[x]$, nieprzywiedlne nad K. Jeżeli iloczyn $f_1f_2\ldots f_k$ ma w $O_K$ stały dzielnik 1, to dla nieskończenie wielu $x$ w $O_K$ ideały $(f_i)$ ($i=1,2,\dots,k$) sa równocześnie pierwsze.

Tw. 3. Niech $f_1,f_2,\dots,f_k$ wielomiany w $\mathbb Z[x]\setminus\mathbb Z$. Istnieją takie stałe $c_0,c_1,\dots,c_k$, że dla nieskończenie wielu $x$ w $\mathbb Z$, $f_i(x)+c_0=c_iq_i$, gdzie $q_i$ pierwsze ($i=1,2,\dots,k$).

Andrzej Schinzel

A distinct covering system is a finite collection of congruences $$a_i \pmod{m_i},\ 1<m_1 < m_2 <\ldots < m_k$$ such that every integer satisfies at least one of them.

THEOREM. The least modulus of a distinct covering system is at most $10^{16}$.

Maciej Zakarczemny

Let f be a natural-valued function defined on the Cartesian product of finitely many copies of N (positive integers). Here we will discuss some modifications of the sieve of Eratosthenes in the sense that we cancel the divisors of all possible values of f in the points whose sum of coordinates is less or equal to n. By applying similar arguments to those used in the paper
[J.Browkin, H-Q.Cao, Modifications of the Eratosthenes sieve, Colloq. Math. 135 (2014)],
but also in the companion papers, we investigate new problems for the values of some polynomial functions or quadratic and cubic forms.

Mariusz Skałba

The well-known theorem of Vahlen asserts that of any two consecutive convergents to a positive real number $a$ at least one $p/q$ satisfies the inequality $|a-p/q|<1/2q^2$. I will prove the following result.

Let $p>3$ be a prime number of the form $8k+3$ and assume that the unique factorization property holds in $Z[\sqrt{p}]$. Moreover let $l(p)$ denote the length of the period of the continued fraction expansion of $\sqrt{p}$ and $P_j/Q_j$ its $j$-th convergent. Then there exists $j<l(p)$ satisfying

and $|P_{j+1}/Q_{j+1}-\sqrt{p}|<1/2Q_{j+1}^2$
and the number of such $j$'s is of the form $4u+2$.

Andrzej Schinzel

Let $f(x)=ax^2+a_1x \in \mathbb Z[x]$, $g(y)=by^2+b_1y\in\mathbb Z[y]$, $c\in\mathbb Z\setminus\{0\}$, ${\rm Rad\,} c$ be the product of all primes dividing $c$.

Theorem. If $abc\ne0$, ${\rm Rad\,} c| (a_1,b_1a)$, then there exist infinitely many integers $x,y$ such that $f(x)+g(y)+c\equiv0\pmod{xy}$, $(y,c)=1$ except for
either $a=b=\pm1$, $a_1=b_1=0$, $c=\mp2,\mp3$
or $a=b=\pm1$, $|a_1|=|b_1|=1$, $c=\mp1$.

Andrzej Schinzel

Let $1<p<q$ be integers, $(p,q)=1$, $S(p,q)$ consist of all numbers $ap+bq$, where $a,b$ are non-negative integers.
Let $K(p,q)$ be the greatest non-negative integer, such that for all non-negative integers $s < K(p,q)+1$, $s$ is in $S(p,q)$, if $(p-1)(q-1)/2$ is in $S(p,q)$, $s$ is not in $S(p,q)$, if $(p-1)(q-1)/2$ is not in $S(p,q)$.

Theorem. Let $q/p=[a_0,a_1,\dots,a_n]$ be a regular, normal continued fraction. Then $K(p,q)= [(a_n-1)/2]$.

Paweł Karasek

During the last seminar lecture Piotr Achinger presented the key ideas behind the proof of the Maynard's theorem about bounded gaps between primes. I am going to talk about Motohashi-Pintz-Zhang theorem which was the fundamental achievement in this area (it led to the conclusion $\liminf (p_{n+1} - p_n) < 70 \cdot10^6$). This result is an extension of the famous Bombieri-Vinogradov's theorem which reaches beyond the limit $x^{1/2}$ for smooth numbers (in this context, containing only prime divisors smaller than $x^{\delta}$ for some $0< \delta <1$). I will portray the strategy of the proof and its connection with the Kloosterman sums.

Piotr Achinger

In 2013, Y. Zhang proved the finiteness of $\liminf (p_{n+1} - p_n)$, where $p_n$ is the $n$-th prime. I will discuss the proof, due to J. Maynard (and independently T. Tao), also from 2013, that more generally $\liminf (p_{n+m} - p_n)$ is finite for every fixed $m$, and that in case $m=1$, we have $\liminf (p_{n+1} - p_n) \le 600$ (this has been subsequently improved to 246). The proof is an ingenious application of sieve methods, and the only non-elementary result one needs is the Bombieri-Vinogradov theorem.

Andrzej Schinzel

The following theorems will be proved, in which $K$ is an algebraic number field.

Theorem 1. Let $u_n$ be a simple binary linear recurrence in $K$. If for almost all, in the sense of density, prime ideals $P$ of $K$ the congruence $u_n = 0\,({\rm mod}\, P)$ is soluble for integers $n$, then the equation $u_n = 0$ is soluble for integers n.

Theorem 2. Let $u_n$ be a simple essentially ternary linear recurrence with the companion polynomial $(z-1)(z-a)(z-b)$ and either $u_n$ is in $K$ and $a^2=b^x$ ($x$ integer, $-1<x<3$), or $u_n$ is in $Q$ and $a^3=b^x$ ($x$ integer, $-1<x<4$). Then the conclusion of Theorem 1 holds.

Theorem 3. There exists a real quadratic number field $K$ and $u_n$ a simple ternary recurrence in $K$ with the companion polynomial $(z-1)(z-a)(z-a^3)$ such that the conclusion of Theorem 1 does not hold.

Jacek Pomykała

E. Bach pokazał w 1984 roku istnienie redukcji wielomianowej problemu faktoryzacji n do problemu logarytmu dyskretnego w Zn*, przy założeniu prawdziwości rozszerzonej hipotezy Riemanna dla L-funkcji Dirichleta. Pokażę bez zakładania tej hipotezy, że tego typu redukcja zachodzi dla wszystkich n<x bezkwadratowych, nieparzystych poza zbiorem wyjątków, z jawnym oszacowaniem ich liczności (zależnej od x).

Andrzej Schinzel

Omówione będą następujące tematy:
7. elementarna teoria liczb pierwszych,
8. metody faktoryzacji i badania pierwszości,
9. rozwinięcia przy danej podstawie,
10. przedstawienia liczb różne od rozwinięć przy danej podstawie i od ułamków łańcuchowych.

G. Soydan

Two theorems are proved on the Diophantine equation $ (x+1)^k+(x+2)^k+\ldots+(lx)^k=y^n$.

Andrzej Schinzel

Omówione będą następujące tematy:
5. funkcje arytmetyczne (nie omówiony 24 kwietnia), 6. własności multyplikatywne bloków liczb całkowitych.

Andrzej Schinzel

Przedstawione będą następujące tematy:

  1. struktura multyplikatywna, reszty modulo m,
  2. kongruencje,
  3. pierwiastki pierwotne, rzędy,
  4. liczby pseudopierwsze,
  5. funkcje arytmetyczne.

Aleksander Zabłocki

Na poprzednim seminarium omówiono najprostsze trzy spośród pięciu głównych kroków (tj. pierwszy i dwa ostatnie) w podanym przez Bruederna konstruktywnym dowodzie twierdzenia prof. Schinzla (mówiącego, że dostatecznie duże liczby dające reszty $3, 4, 6, 12, 15, 19$ modulo $24$ są sumami czterech kwadratów parami względnie pierwszych).

Na kolejnym posiedzeniu przedstawimy krok trzeci (tj. przybliżenie "szeregu singularnego" $S(c, n)$ jego sumami częściowymi). W miarę możliwości czasowych omówimy też główne składniki najtrudniejszego kroku drugiego (tj. przybliżenia przez $S(c, n)$ liczby rozkładów $n$ na cztery kwadraty liczb $x_i$ podzielnych przez $c_i$), na które składają się sumy Gaussa, Kloostermana i Salie, wzór sumacyjny Eulera oraz całka Fresnela.

Aleksander Zabłocki

Na seminariach w dniach 8 i 22 marca 2013 r. prof. Schinzel przedstawił dowód, że warunkiem dostatecznym, aby liczba naturalna $n$ przedstawiała się jako suma czterech kwadratów parami względnie pierwszych, jest, aby modulo 24 dawała jedną z reszt $3, 4, 7, 12, 15, 19$ (co samo w sobie jest warunkiem koniecznym) oraz aby była większa od pewnego $N$ naturalnego.

Celem referatu jest zaprezentowanie dowodu tej samej tezy wg Bruederna, co pozwoli na podanie konkretnej wartości ograniczenia $N$; w szczególności sprawdzimy, że $N$ można wybrać poniżej $2^{2^{848}}$. Na najbliższym posiedzeniu przedstawione będą główne składniki tego dowodu, z pominięciem szczegółów w najtrudniejszym oszacowaniu Bruederna-Fouvry'ego.

Andrzej Schinzel

Wielomiany Sterna $B_n(t)$ według Klavzara, Milutinovica i Petra dane są wzorami $B_1(t)=1$, $B_{2n}(t)=tB_n(t)$, $B_{2n+1}=B_n(t)+B_{n+1}(t)$. M. Ulas zapytywał, kiedy $B_n$ jest zwrotny, tzn. kiedy $$t^{\deg B_n}*B_n(t^{-1})=B_n(t).\tag1$$ Częściowa odpowiedź dana jest przez następujące
Twierdzenie. Jeżeli $n$ ma rozwinięcie dwójkowe $$ n=\stackrel{a_1}{1} \stackrel{a_2}{0}\ldots \stackrel{a_k}{1} $$ ($k$ nieparzyste, $a_i>0$ dla $k+1>i>0$) i dla wszystkich par $0<i<j<k+1:a_i+a_j>\max\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}+2>4k-7$, to (1) jest równoważne $a_{i+1} =a_i +2$ ($0<i<k$).

Mariusz Skałba

Tytułowe twierdzenie Fermata mówi, że każda liczba pierwsza $p$ postaci $4k+1$ pisze się jednoznacznie jako $p=a^2+b^2$. Oczywiście liczby pierwsze $p$ postaci $8k+3$ nie są sumami dwóch kwadratów, ale wykażemy, że dla każdej takiej liczby pierwszej $p$ istnieją liczby naturalne $a,b,c$ wszystkie mniejsze od $p^{1/2}$, że $p=a^2+bc$, przy czym liczba takich trójek $a,b,c$ spełniających warunek normujący: $b<c$, jest nieparzysta. Ponadto zinterpretujemy ten wynik w języku redukcji dwójkowych form kwadratowych.

Jerzy Browkin

W algebraicznej K-teorii rozpatruje się tak zwane elementy cyklotomiczne (ec) należące do grupy $K_2 F$, gdzie $F$ jest ciałem. Iloczyn elementów ec na ogół nie jest ec. Podam przykłady takich ciał liczbowych $F$ i elementów cyklotomicznych w $K_2 F$, których iloczyn jest ec.

Jacek Pomykała

Liczby $B$-wyjątkowe to takie liczby naturalne $n$, że grupa $Z_n*$ nie jest generowana przez liczby naturalne z odcinka $[1, B]$. Udowodnimy górne ograniczenie na liczbę takich liczb $< x$ wykorzystując twierdzenia gęstościowe dla odpowiednich L-funkcji Dirichleta. Pokażemy ich zastosowanie w kryptografii dotyczące wydajnego generowania parametrów systemów kryptograficznych asymetrycznych oraz w kryptoanalizie w związku z problemem warunkowej faktoryzacji liczby $n$.

Andrzej Schinzel

Podam dowód następującego twierdzenia:

Twierdzenie. Dla każdego ciągu rekurencyjnego un istotnie trzeciego rzędu o wyrazach całkowitych, którego równanie charakterystyczne ma pierwiastek podwójny, istnieje taka liczba całkowita D>0, że z (m,D)=1 wynika istnienie nieskończenie wielu wyrazów un podzielnych przez m.

Andrzej Schinzel

Wszystkie rozwiązania tego równania w liczbach całkowitych nieujemnych $x,y,z$, gdzie $y \le z$, będą wyznaczone przy pomocy ułamka łańcuchowego $[b_0,b_1,...,b_k]$, gdzie $b_0$ całkowite, $b_i$ ($i>0$) naturalne.

Nikolay Moshchevitin

In 1920-th - 1950-th years A. Khintchine and V. Jarník built a perfect theory of multidimensional linear Diophantine approximations. It happened that some of the results by Khintchine and Jarník were forgotten for many years and were rediscovered in last decade. In my lecture I would like to recall some classical results on multidimensional Diophantine approximation by Khintchine, Jarník, Davenport, Schmidt and to speak about some recent results. In particular, we will discuss

Andrzej Schinzel

Twierdzenie (S. Jakubec, M. Pasteka i A. Schinzel).
Niech $p=2nl+1$ i $l$ będą to liczby pierwsze nieparzyste, a $z_p$ pierwiastek pierwotny stopnia $p$ z $1$. Niech $K$ będzie podciałem stopnia $l$ ciała $Q(z_p+z_p^{-1}) $ i $h_K$ liczbą klas ciała $K$. Niech $q$ będzie liczbą pierwszą spełniającą $2n<q<p^{1/n}$ i $B_{2i}\not\equiv0\,({\rm mod}\, q)$ dla $i=1,2,\dots,n$. Jeżeli $q$ jest pierwiastkiem pierwotnym modulo $l$, to $q$ nie dzieli $h_K$.

Andrzej Schinzel

Podany będzie dowód i zastosowanie następującego twierdzenia.

Twierdzenie. Jeżeli $n$ ma rozwinięcie dwójkowe $1^{a_1} 0^{a_2} \dots 1^{a_k}$ $(a_i>0)$, to $B_n(t)=T_{a_1} + \frac{\:t^{a_1}\,|}{|\, T_{a_2}\:} +\ldots+ \frac{\:t^{a_{k-1}}\,|}{|\, T_{a_k}\:}$, gdzie $B_n$ jest $n$-tym wielomianem Sterna, a $T_a=1+ \ldots +t^{a-1}$.

Poj Lertchoosakul

The fields of formal Laurent series over finite fields, or the non-Archimedean local fields of positive characteristic, are considered to be the true analogues of the real numbers. In this setting, we introduce the Liouville numbers as examples of transcendental numbers in positive characteristic, and we investigate into the complexity of the set of Liouville numbers in terms of size (Haar measure) and dimension (Hausdorff dimension).

Maciej Gawron

W referacie przedstawię definicję i własności ciągu wielomianów Sterna zdefiniowanych rekurencyjnie wzorami $B_0(t)=0$, $B_1(t)=1$, $B_2n(t) = tB_n(t)$, $B_(2n+1)(t)=B_n(t)+B_(n+1)(t)$. Scharakteryzuję zbiór możliwych pierwiastków wymiernych wielomianów w tym ciągu. Przy pomocy teorii ciągów automatycznych oszacuję górną gęstość liczby wielomianów Sterna mających pierwiastek wymierny.

Wyznaczę wszystkie pary kolejnych wielomianów Sterna o równych stopniach. Przedstawię również wyniki i hipotezy dotyczące symetrycznych wielomianów Sterna.

Andrzej Schinzel

Podany będzie dowód następującego twierdzenia:

Twierdzenie. Kongruencja $ax^3+a_1x^2+a_2x+by+c\equiv0 \pmod {xy}$, gdzie $a\not=0$, $a_1, a_2, b, c$ całkowite, ma nieskończenie wiele rozwiązań $x,y$ wtedy i tylko wtedy, gdy równanie $ax^3+a_1x^2+a_2x+by+c=0$ ma rozwiązanie całkowite.

Janusz Szmidt

Podane będzie twierdzenie o konstrukcji wszystkich binarnych ciągów de Bruijna określonego rzędu n przy pomocy operacji łączenia skrzyżowanych par stanów (stany to podciągi długości n ciągu de Bruijna o okresie 2ⁿ). Twierdzenie to ma związek z konstrukcją nieliniowych rejestrów przesuwnych opisanych przy pomocy funkcji Boolowskich n zmiennych, które generują ciągi de Bruijna.

Andrzej Schinzel

Podany będzie dowód następującego twierdzenia.
Twierdzenie. Jeżeli $f(x)=ax^m + a_1x^(m-1)+\dots+a_(m-1)x$, $g(y)=by^n+b_1y^(n-1)+\dots+b_(n-1)y$ są wielomianami nad $Z$ stopni odpowiednio $m$ i $n$, $\max\{m,n\}>2$, $\min \{m,n\}>1$, $c\neq0$ jest całkowite, ${\rm Rad}\, c|a_(m-1)$ i albo $|abc|>1$, albo $a>0$, $a_i \ge 0$, $b>0$, $b_i \ge 0$, $c>0$, to kongruencja $f(x) + g(y) +c =0\ (\bmod xy)$ ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych $x,y$.

The following theorem will be proved.
Theorem. If $f(x) = ax^m + a_1x^(m-1)+\dots+a_(m-1)x$, $g(y)= by^n +b_1y^(n-1)+ \dots+b_(n-1)y$ are polynomials over $Z$ of degree $m$ and $n$, respectively, $\max \{m,n\}> 2$, $min \{m,n\}>1$, $c\neq0$ is an integer, ${\rm Rad}\,c|a_(m-1)$ and either $|abc|>1$, or $a >0$, $a_i \ge 0$, $b>0$, $b_i \ge 0$, $c>0$, then the congruence $f(x) + g(y) + c=0\ (\bmod xy)$ has infinitely many integer solutions $x,y$.

Andrzej Schinzel

Podany będzie dowód następującego twierdzenia.
Twierdzenie. Dla dowolnych wielomianów $f,g$ stopni $m,n$ o współczynnikach całkowitych nieujemnych, $f(0) =g(0) =0$, i dowolnej liczby naturalnej $c$ jeżeli $\max(m,n)>2$, $\min(m,n)>1$, to kongruencja $f(x)+g(y)+c=0\ (\bmod xy)$ ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych $x,y$.

The following theorem will be proved.
Theorem. For any polynomials $f,g$ of degrees $m,n$ and integral non-negative coefficients, $f(0)=g(0)=0$, and any positive integer $c$ if $\max(m,n)>2$, $\min(m,n)>1$, the congruence $f(x) + g(y)+ c =0\ (\bmod xy)$ has infinitely many solutions in integers $x,y$.

Andrzej Schinzel

Oparty na pomyśle Mordella podany będzie dowód następującego twierdzenia.
Dla dowolnych liczb naturalnych $m,n$ większych od $1$ i dla dowolnych liczb całkowitych $a,b,c$ różnych od $0$ kongruencja $ax^m +by^n+ c =0\ (\bmod xy)$ ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych $x,y$, gdzie $(acx,y)=1$.

Based on an idea of Mordell the following theorem will be proved.
Theorem. For all integers $m,n$ greater than $1$ and for all integers $a,b,c$ different from $0$ the congruence $ax^m + by^n + c = 0\ (\bmod xy)$ has infinitely many solutions in integers $x,y$ such that $(acx,y) =1$.

Mariusz Skałba

Jak dobrze wiadomo, jeśli forma kwadratowa o współczynnikach wymiernych przedstawia nietrywialnie zero w ciele liczb rzeczywistych i w każdym ciele $p$-adycznym, to przedstawia również nietrywialnie $0$ w ciele liczb wymiernych. Podobnie wiadomo, że twierdzenie to nie zachodzi w ogólności, dla dowolnych równań diofantycznych. Celem referatu jest przedstawienie prostej metody uzyskiwania niektórych takich kontrprzykładów. Szczególnie prosty jest przykład równania $x^4-2y^4=7z^2$, którego rozpatrzenie jest krótkie i nie wymaga praktycznie żadnej wiedzy. Natomiast rozpatrzenie przykładu krzywej hipereliptycznej $y^2=8x^6-23$ wymaga tylko podstawowej wiedzy z algebraicznej teorii liczb i ilustruje pewną ogólniejszą metodę.

It is well-known that if a given quadratic form with rational coefficients represents $0$ non-trivially in reals and all $p$-adics then it represents non-trivially $0$ in rationals. Similarly well-known is the issue that this implication does not hold in general, for any diophantine equation. I will present a simple method of obtaining some of counterexamples. The equation $x^4-2y^4=7z^2$ is specially simple and straightforward. More advanced example of hyperelliptic curve $y^2=8x^6-23$ uses only rudiments of algebraic number theory and illustrates some general method.

Jerzy Browkin

Sito Eratostenesa to jest taka procedura wykreślania, że najmniejsza liczba niewykreślona jest pierwsza. Zhi-Wei SUN zaproponował kilka innych algorytmów o podobnej własności. Przedstawię kilka wyników dotyczących liczb niewykreślonych w odpowiednich przedziałach przy zastosowaniu algorytmów SUNa i pewnych innych.

The Eratosthenes sieve is a cancellation algorithm, such that the least noncancelled number is prime. There are several algorithms given by Zhi-Wei SUN with analogous properties. I shall present some results concerning noncancelled numbers in appropriate intervals, applying algorithms of SUN and some other ones.

Bartosz Naskręcki

Podczas odczytu zaprezentuję metody szacowania rangi generycznej w rodzinach krzywych eliptycznych postaci

$y^2=x(x-\alpha a^2)(x-\beta b^2),$
gdzie $\alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2=0$ i $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Q}$ oraz równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie wymierne $(a,b,c)\in \mathbb{Q}^3$. Udowodnione zostanie twierdzenie dotyczące rangi w rodzinie trójek pitagorejskich $\alpha=\beta=-\gamma=1$. Wykorzystane w dowodzie techniki będą opierały się na wynikach T. Shiody, R. Kloostermana i R. van Luijka. Pokażę, w jaki sposób szacowanie za pomocą formuły Shiody-Tate'a może być wzmocnione obliczeniami wielomianu charakterystycznego operatora Frobeniusa działającego na odpowiedniej kohomologii etalnej. Podstawowa część referatu oparta będzie na wynikach pracy Mordell-Weil ranks of families of elliptic curves associated to Pythagorean triples z tego roku. Opiszę również rozszerzenie tych wyników do przypadku dowolnej formy kwadratowej binarnej z co najmniej jednym rozwiązaniem wymiernym.

Maciej Ulas

W pierwszej części referatu dowiodę, że równanie $w^2=x^6+y^6+z^6$ ma nieskończenie wiele nietrywialnych rozwiązań w liczbach całkowitych. W drugiej części referatu przedstawię pewne wyniki dotyczące istnienia wielomianowych rozwiązań równań diofantycznych postaci $a(x^p-y^q)=b(z^r-w^s)$, gdzie $a, b$ są danymi niezerowymi liczbami całkowitymi, zaś wykładniki spełniają równość $1/p+1/q+1/r+1/s=1$. W szczególności pokażę, że jeśli liczby $p,q,r,s$ są parzyste i nie wszystkie równe 4, to rozważane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań wielomianowych. W przypadku czwórek $(p,q,r,s)=(2,4,6,12)$, $(2,6,6,6)$, $(2,4,8,8)$, $(2,8,4,8)$ wykażemy istnienie prymitywnych rozwiązań wielomianowych, czyli rozwiązań wielomianowych spełniających warunek ${\rm NWD}(x,y,z,w)=1$. W każdym z rozważanych przypadków dowiedziemy, że zbiór punktów wymiernych na odpowiedniej powierzchni jest gęsty w topologii Zariskiego. W przypadku powierzchni z układem wykładników $(p,q,r,s)=(2,6,6,6)$ dowiodę, że zbiór punktów wymiernych jest gęsty w topologii euklidesowej w zbiorze wszystkich punktów rzeczywistych. Na koniec podam pewne uogólnienia uzyskanych wyników dotyczące rozwiązań równań diofantycznych postaci $a(x^4-P(X)^2)=b(y^4-Q(X)^2)$, gdzie $X$ jest wektorem $n$ zmiennych i $P, Q$ są formami jednorodnymi.

Prezentowane wyniki zostały otrzymane we wspólnej pracy z A. Bremnerem (Arizona State University).

Andrzej Schinzel podany będzie dowód, że dla n=5, a,b,c wymiernych, a>0, b>0, c2<ab układ ma rozwiązanie w liczbach wymiernych xi,yi.

Bartłomiej Bzdęga

Niech n będzie iloczynem k różnych nieparzystych liczb pierwszych. Udowodnię, że n-ty wielomian podziału koła posiada co najmniej n1/k niezerowych współczynników dla k=2,3. Ponadto wykażę, że dla k=2 wykładnika 1/2 nie można zwiększyć, i oszacuję liczbę tych n1/2 +ε niezerowych współczynników.

Andrzej Paszkiewicz

Opowiem o wynikach badań rozproszonych nad rzadkimi wielomianami nieprzywiedlnymi nad GF(p) dla kilku początkowych liczb pierwszych p. Skupię się na trójmianach, pięciomianach oraz najmniejszych w sensie porządku leksykograficznego wielomianach nieprzywiedlnych nad GF(2). W szczególności pokazę kontrprzykłady obalające pewną hipotezę von zur Gathena dotyczącą najmniejszych wielomianów nieprzywiedlnych. Spróbuję też, w oparciu o wyniki badań, sformułować pewne przypuszczenia i pytania. Pokażę także przykłady nowych rzadkich trójmianów nierozkładalnych wysokich stopni nad GF(2).

Maciej Ulas

Niech f będzie funkcją rosnącą z N do N (N - zbiór liczb naturalnych). W referacie przedstawię kilka wyników dotyczących równań typu y2=BUn+A, gdzie A, B są liczbami całkowitymi i Un=f(1)f(2)…f(n). W szczególności, dowiodę, że istnieje nieskończenie wiele takich całkowitych A, że równanie y2=x!+A ma co najmniej trzy rozwiązania w liczbach całkowitych (x,y).

Jerzy Browkin

Podam rozwiązanie problemu dotyczącego sum trzech kwadratów, sformułowanego na seminarium 10 lutego b.r. i analogicznego problemu dla sum dwóch kwadratów.

Maciej Zakarczemny

Udowodnię twierdzenie:

Twierdzenie. Dla wszystkich skończonych grup abelowych $G$, wszystkich $a_i$ w $G$ i wszystkich dodatnich, całkowitych $b_i$ $(i=1,2,\ldots,k)$ liczba rozwiązań $N(a_1,b_1;a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k)$ równania $\sum\limits_{i=1}^k a_ix_i = 0$, w całkowitych $0\le x_i\le b_i$ spełnia nierówność $N(a_1,b_1;a_2,b_2,\ldots,a_k,b_k) \geq 2^{1-D(G)}\times\prod\limits_{i=1}^k(b_i+1)$, gdzie $D(G)$ jest stałą Davenporta grupy $G$.

Jerzy Browkin

Zamierzam podać przykład wielomianu, którego ciało rozkładu ma bardzo dużą liczbę klas, i skomentować ten przykład. W szczególności, czy ma znaczenie to, że grupa Galois tego wielomianu jest grupą kwaternionów.

Maciej Zakarczemny

Udowodnię twierdzenie: Dla każdej skończonej grupy abelowej $G$ i każdego wektora $[a_1,\ldots,a_k]\in G^k$ liczba rozwiązań równania $\sum_{i=1}^k a_i x_i=0$ w nieujemnych całkowitych $x_i\le b_i$ jest co najmniej równa $2^{1-|G|}\prod_{i=1}^{k}(b_i+1)$.

Andrzej Schinzel

Na posiedzeniu prof. A. Schinzel poda dowód twierdzenia o pierwiastkach pierwotnych i wyprowadzi stąd rozwiązanie problemu A. Paszkiewicza. Będzie to kontynuacja odczytu z poprzedniego seminarium.

Andrzej Schinzel

W pierwszej części seminarium prof. Schinzel udowodni wspólne uogólnienie twierdzeń Hassego i Lubelskiego:

Twierdzenie. Niech k będzie skończonym rozszerzeniem Q i niech f(x) będzie wielomianem nad k. Jeśli dla prawie wszystkich ideałów pierwszych p ciała k f(x) ma mod p co najmniej v czynników liniowych, to f jest podzielne przez iloczyn v+1 czynników z k[x]\k lub f jest iloczynem v czynników liniowych z k[x].

W drugiej części seminarium prof. Schinzel rozpocznie referat o następującym problemie A. Paszkiewicza: jaka jest gęstość liczb pierwszych z daną najmniejszą nieresztą kwadratową i z danym najmniejszym pierwszym pierwiastkiem pierwotnym.

Andrzej Schinzel

Będzie podana odpowiedź na pytanie Nagella z 1919 r., jaki jest najmniejszy stopień pierwotnej formy dwójkowej, której wszystkie wartości w punktach całkowitych dzielą się przez n!.

Andrzej Schinzel

1. Uwagi o wielomianach Sterna

Będzie udowodnione, że dla żadnej liczby pierwszej p wielomian Bp, wprowadzony na poprzednim seminarium przez dr. M. Ulasa, nie ma dzielnika właściwego stopnia 1, 2 lub 3.

2. O dzielnikach stałych wielomianów wielu zmiennych

Początek referatu, w którym będzie podana odpowiedź na pytanie Nagella z 1919 r., jaki jest najmniejszy stopień pierwotnej formy dwójkowej, której wszystkie wartości w punktach całkowitych dzielą się przez n!.

Maciej Ulas

Niech n będzie liczbą naturalną. Zdefiniujmy rodzinę wielomianów {Bn(t)} w następujący sposób:
B0(t)=0, B1(t)=1,
Wielomian Bn(t) nazywamy n-tym wielomianem Sterna. Ciąg tych wielomianów jest naturalnym uogólnieniem ciągu Sterna, który otrzymujemy dla t=1. Tak określony ciąg wielomianów pojawił się w pracy S. Klavzara, U. Milutinovica i C. Petra (Stern polynomials, Adv. Appl. Math. 39 (2007), 86–95). W referacie przedstawię kilka interesujących własności tych wielomianów. Obiektem moich zainteresowań będzie również ciąg stopni e(n)=deg Bn(t).

Andrzej Schinzel

Przedstawiony zostanie początek dowodu następującego twierdzenia. Niech Fi(Xi) (i=1,2,…) będą formami nieosobliwymi od rozłącznych wektorów zmiennych Xi. Istnieje taka liczba naturalna s0, że dla każdego s każda liczba całkowita przedstawialna przez sumę F1(X1)+…+Fs(Xs) nad Z jest już przedstawialna przez sumę F1(X1)+…+Fs0(Xs0) nad Z.

Andrzej Schinzel

Podany będzie dowód następującego twierdzenia z pracy wspólnej z J. Browkinem. Dla dowolnych liczb całkowitych r,s istnieją takie pary całkowite <x,y>, że x≠y, rx²+s i ry²+s mają te same czynniki pierwsze oraz min{x,y} jest dowolnie duże.

Mariusz Skałba

Udowodnimy następujace twierdzenie:

Wymierny ciąg rekurencyjny trzeciego rzędu, niezdegenerowany, o nierozkładalnym wielomianie charakterystycznym, jest sumą skończenie wielu kwadratów rzeczywistych ciągów rekurencyjnych wtedy i tylko wtedy, gdy we wzorze jawnym wszystkie wartości własne i wszystkie współczynniki przy ich potęgach są dodatnie. Gdy te warunki są spełnione, wówczas wystarczy 6 kwadratów ciągów wymiernych.

Udowodnimy również, że ciąg: xn=2n+(1/3)n-1 nie jest sumą kwadratów (mimo że dla każdego n całkowitego, a nawet rzeczywistego, mamy nierówność xn>0!)

Maciej Ulas

W referacie przedstawię kilka nowych wyników dotyczących rozkładalności trójmianów o współczynnikach wymiernych. W szczególności udowodnię, że nie istnieje trójmian postaci x6+ax+b, który rozkłada się na iloczyn trzech wielomianów nierozkładalnych stopnia 2.

Andrzej Schinzel

Udowodniony będzie warunek konieczny i dostateczny na to, aby równanie axm+bxn+c=dyp+eyq (a,b,d,e≠0), gdzie m>n>0,p>q>0 i m>p>2 lub m=p>2, n>=q, miało nieskończenie wiele rozwiązań wymiernych z ograniczonym mianownikiem. W ubiegłym roku akademickim był referowany taki warunek przy dodatkowym założeniu, że (m,n)=(p,q)=1.

Mariusz Skałba

Znane jest twierdzenie Pourcheta z 1971 roku (Acta Arithmetica) mówiące o tym, że każdy wielomian jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, który przyjmuje tylko wartości nieujemne, jest sumą pięciu kwadratów wielomianów o współczynnikach wymiernych. Na seminarium udowodnimy podobne twierdzenie dla ciągów rekurencyjnych liniowych drugiego rzędu.

Karol Cwalina

Podczas seminarium rozważymy kongruencję a1x1+…+akxk=0 (mod n), 0≤xi≤bi, przy ustalonych naturalnych a1,…,ak. Pokażemy, że liczba rozwiązań tej kongruencji wynosi co najmniej (1+b1)…(1+bk)/2n-1, a więc zgodnie z oczekiwaniami jest proporcjonalna do „objętości” zbioru dopuszczalnych wektorów (x1,…,xk), a stała proporcjonalności 21-n jest przy tym najlepszą możliwą. Tym samym udowodnimy hipotezę postawioną przez prof. Schinzla.

Maciej Ulas

W referacie pokażę, że dla każdej czwórki krzywych eliptycznych określonych nad ciałem liczb wymiernych z j-niezmiennikiem 0 istnieje wielomian D o współczynnikach całkowitych taki, że skręcenie stopnia sześć tych krzywych przez D ma dodatnią rangę nad Q(t). Analogiczny rezultat zostanie udowodniony dla krzywych z j-niezmiennikiem 1728. W referacie zostaną również przedstawione możliwe uogólnienia otrzymanych rezultatów.

Andrzej Schinzel

Dla liczb bezkwadratowych m każdy zbiór reszt mod m zawierający co najmniej m/2 elementów zawiera reszty r1, r2, r3 takie, że r1*r2=r3. W referacie zajmę się pytaniem, na jakie liczby m da się to twierdzenie rozszerzyć.

Jarosław Wróblewski

Na wykładzie będą przedstawione wyniki komputerowych obliczeń teorioliczbowych dotyczących różnorakich układów liczb pierwszych, równych sum potęg oraz związanych z hipotezą ABC.

Andrzej Schinzel

Dwa twierdzenia o równaniu axm+bxn+c=dyp+eyq otrzymane wspólnie z G. Peterem i A. Pinterem.

Władysław Narkiewicz

Omówionych będzie kilka otwartych, a mało znanych, problemów dotyczących różnych działów teorii liczb, w tym arytmetyki wielomianów, kombinatoryki, arytmetyki procesów dynamicznych, funkcji arytmetycznych i algebraicznej teorii liczb.

Grzegorz Banaszak

Podczas wykładu omówiona zostanie globalno-lokalna zasada (względem przekształceń redukcji) dotycząca zależności liniowej punktów nietorsyjnych w grupach Mordella-Weila rozmaitości abelowych nad ciałami liczbowymi. Odpowiednia globalno-lokalna zasada dotycząca elementów grupy multiplikatywnej ciała liczbowego została zauważona po raz pierwszy w połowie lat 70. przez Prof. A. Schinzla.

Bogdan Szydło

Podajemy formułę dokładną w terminach funkcji podzielników dla sumy (po wagach) iloczynów L-funkcji Heckego form parabolicznych pełnej grupy modułowej. Jako wniosek otrzymujemy nieznikanie wartości L-funkcji Heckego w punkcie centralnym 1/2 i dowolnym innym ustalonym punkcie dla nieskończenie wielu form parabolicznych.

Marcin Pilipczuk

Kontynuując referat Piotra Hofmana o ciągu EKG (, przedstawię szkic dowodu naszego wyniku dotyczącego asymptotycznego zachowania tego ciągu: an-n = O(n/logloglog n). Dowód, poza wykorzystaniem twierdzenia Mertensa, jest elementarny i opiera się o proste obserwacje poczynione przez Piotra w jego wystąpieniu.

Andrzej Schinzel

Dowodzi się, że wśród każdego zbioru dzielników liczby bezkwadratowej liczącego więcej niż połowę wszystkich dzielników jest albo liczba 1, albo trzy dzielniki, których iloczyn jest kwadratem. Rozważa się możliwe uogólnienia.

R. Marszałek

Plan wykładu:
  1. Krótki przegląd teorii dotyczącej addytywnej struktury Galois pierścienia liczb całkowitych - wyniki A. Frohlicha i M. Taylora.
  2. Opis grupy klas pierścienia grupowego jako grupy homomorfizmów z grupy charakterów w grupę ideli.
  3. Reprezentacja grupy jednostek pierścienia liczb całkowitych rzeczywistego ciała abelowego za pomocą tzw. resolwenty logarytmicznej.
  4. Zastosowanie ww. reprezentacji do badania istnienia tzw. jednostek Minkowskiego - podanie nowej klasy ciał posiadających jednostki Minkowskiego.

Alfred Czogała

Zapoczątkowana przez Knebuscha, w latach 70-tych ubiegłego stulecia, teoria przestrzeni dwuliniowych nad pierścieniami stanowi naturalne uogólnienie teorii form kwadratowych nad ciałami.

Podstawowym obiektem badań tej teorii jest (podobnie jak w przypadku ciał) pierścień Witta, zaś jego opis należy do głównych jej problemów.

Problem ten wydaje się szczególnie interesujący w odniesieniu do podpierścieni ciał globalnych i to z dwóch powodów: z jednej strony ze względu na znaczenie tych pierścieni w teorii liczb, z drugiej na możliwość wykorzystania narzędzi wypracowanych w teorii form kwadratowych nad ciałami globalnymi.

Na wykładzie będą przedstawione najważniejsze rezultaty dotyczące pierścieni Witta podpierścieni ciał globalnych, jakie w ostatnim czasie zostały uzyskane w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Śląskiego.

Stefan Barańczuk

Niech K będzie ciałem liczbowym. Niech x będzie elementem nietorsyjnym tego ciała. Interesują nas możliwe rzędy punktu x modulo v, gdzie v jest ideałem pierwszym ciała K. Wynik A. Schinzla mówi, że istnieje liczba N, zależna tylko od stopnia elementu x taka, że dla każdego n>N istnieje ideał v taki, że rząd x mod v jest równy n.

Pokażemy, że ograniczając uwagę do grup S-jedności ciała K możemy uzyskać podobny wynik dla niektórych liczb n<N. Wynik jest inspirowany przez analogiczne twierdzenie J. Cheon i S. Hahn dla krzywych eliptycznych. Dla dowodu użyjemy funkcji wysokości analogicznych do tych na krzywej eliptycznej.

Piotr Hofman

Przedstawimy wspólne wyniki z M. Pilipczukiem na temat ciągu EKG. Ciąg EKG jest ciągiem liczb naturalnych (an) takim, że a1=2, zaś an dla n≥2 jest najmniejszą liczbą, która nie pojawia się wcześniej w ciągu i nie jest względnie pierwsza z an-1. Nazwa ciągu wiąże się z jego wykresem, który przypomina wykres rejestrowany przy badaniu EKG.

Ciąg ten, odkryty przez J. Ayresa, został gruntownie zbadany metodami eksperymentalnymi przez J. C. Lagariasa, E. M. Rainsa i N. J. A. Sloane'a, którzy udowodnili kilka faktów oraz na podstawie doświadczen sformułowali kilka hipotez. Na wykładzie udowodnimy pewne z tych hipotez. Powiemy również o nadal otwartych hipotezach dotyczących ciągu.