PYTANIA EGZAMINU USTNEGO:

A1. Udowodnij że klasy równoważności są albo równe albo rozłączne.

A2. Skonstruuj liczby całkowite z liczb naturalnych.

A3. Udowodnij jedyność elementu neutralnego i elementu odwrotnego.

A4. Zdefiniuj znak permutacji.

A5. Udowodnij że jeśli pierścień ma więcej niż jeden element, to 0 jest różne od 1.

A6. Udowodnij że odwrotność izomorfizmu jest izomorfizmem.

A7. Korzystając z tego że dla dowolnych liczb zespolonych a i b zachodzi |a+b| mniejsze równe niż |a|+|b|, udowodnij że również dla dowolnych liczb zespolonych a i b zachodzi ||a|-|b|| mniejsze równe niż |a-b|.

A8. Zinterpretuj geometrycznie mnożenie liczb zespolonych.

A9. Czy Zasadnicze Twierdzenie Algebry byloby prawdziwe gdyby ciało liczb zespolonych zastąpić ciałem liczb rzeczywistych?

A10. W jaki sposób każde równanie stopnia n da się sprowadzić do równania stopnia n bez członu z potęgą n-1?

A11. Niech R będzie pierścieniem bez dzielników zera. Udowodnij że odwzorowanie przypisujące niezerowym wielomianom nad R ich stopień jest homomorfizmem monoidalnym z monoidu niezerowych wielomianów z mnożeniem na monoid liczb naturalnych z dodawaniem.

A12. Podaj przykład dwóch różnych wielomianów wyznaczających taką samą funkcję wielomianową.

A13. Skonstruuj liczby wymierne z liczb całkowitych.

A14. Jak wyglądają ułamki proste w ciele rzeczywistych funkcji wymiernych a jak w zespolonych?

B1. Udowodnij że iloraz grup abelowych jest grupą abelową.

B2. Udowodnij że odwzorowanie liniowe jest bijekcją wtedy i tylko wtedy gdy jego jądro i kojądro znikają.

B3. Podaj przykład surjektywnego homomorfizmu grup abelowych który się nie rozszczepia.

B4. Niech M będzie sumą prostą K i L. Udowodnij że dowolny element z M można tylko w jeden sposób napisać jako sumę elementu z K i elementu z L.

B5. Podaj przykład nieskończonego zbioru liniowo niezależnego który nie jest bazą.

B6. Zinterpretuj bazę jako odwzorowanie liniowe.

B7. Niech V będzie niezerową przestrzenią wektorową. Podaj przykład zbioru liniowo zależnego rozpinającego V i zredukuj go do bazy V.

B8. Udowodnij że (nad dowolnym ciałem) jednorodny układ 2 równań liniowych z 3 niewiadomymi ma zawsze niezerowe rozwiązanie.

B9. Jakiej postaci musi być dziedzina odwzorowania liniowego jeśli jego macierz ma tylko jedną kolumnę?

B10. Udowodnij że dla dowolonej niezerowej podprzestrzeni wektorowej zawsze można tak dobrać bazy żeby macierz jej włożenia w przestrzeń wektorową zapisywała się w tych bazach wyłącznie przez zera i jedynki.

B11. Udowodnij że jeśli V jest skończeniewymiarową przestrzenią wektorową, to dim(V/W)= dim(V) - dim(W).

B12. Kiedy pierścień endomorfizmów jest pierścieniem przemiennym?

B13. Dlaczego skończone macierze nad ciałem o charakterystyce zerowej nie mogą komutować do jedynki?

B14. Dlaczego definicja wyznacznika endomorfizmu nie zależy od wyboru bazy?

B15. Dlaczego wyznacznik automorfizmu musi być odwracalny?

B16. Czy wyznacznik surjektywnego endomorfizmu musi być odwracalny?