BCC

Baby-Horizons in Mathematics – Winter School for Students

16.03.2018 - 18.03.2018 | Będlewo

Abstracts

,,Koncentracja miary" - dr hab. Radosław Adamczak, Uniwersytet Warszawski

Na początku lat siedemdziesiątych Vitali Milman zauważył, że funkcje lipschitzowskie określone na wysokowymiarowych sferach euklidesowych bardzo silnie (w sensie miary) koncentrują się wokół swoich wartości średnich. Obserwacja ta wraz z jej probabilistyczna interpretacją i licznymi rozszerzeniami okazała się mieć daleko idące konsekwencje w wielu działach matematyki, m. in. w wysokowymiarowej geometrii wypukłej, rachunku prawdopodobieństwa, fizyce statystycznej, kombinatoryce czy informatyce. W ciągu ostatnich czterdziestu lat wypracowano wiele sposobów dowodzenia nierówności koncentracyjnych, odkrywając ich nowe aspekty, związane np. z równaniami cząstkowymi i teorią transportu miary.
W ramach swojego wykładu postaram się omówić podstawowe nierówności koncentracyjne, naszkicować różne metody dowodów oraz przedstawić niektóre ze wspomnianych zastosowań.

 ,,Markowowskie i sekwencyjne algorytmy Monte Carlo'' - prof. dr hab. Wojciech Niemiro, Uniwersytet Warszawski

Markowowskie algorytmy Monte Carlo (MCMC) wynalezione przez fizyków w 1953 roku, począwszy od 1984 roku zrobiły ogromną karierę w statystyce. Równolegle rozwijały się i zyskiwały popularność sekwencyjne algorytmy Monte Carlo (SMC). Idee MCMC i SMC połączono, w bardzo pomysłowy sposób, w przełomowej pracy z 2010 roku.  

W wykładzie przedstawię zasadnicze, niezwykle proste, idee metod Monte Carlo. Zacznę od losowania ważonego i algorytmu Metropolisa, który jest podstawą MCMC. Następnie omówię tak zwany ,,filtr cząsteczkowy'', który jest podstawowym algorytmem SMC i wykorzystuje mechanizm nieco przypominający ,,dobór naturalny''. W dalszej części wykładu przejdę do ,,cząsteczkowych algorytmów MCMC'' (pMCMC), czyli ,,SMC wewnątrz MCMC''. 

Tematy poruszane na wykładzie charakteryzuje - z jednej strony zupełnie elementarny aparat matematyczny - z drugiej strony ogromna pomysłowość. Wszystkie ważniejsze wyniki mam zamiar przedstawić wraz z dowodami.

,,Deskryptywna teoria grafów i paradoksalny rozkład kuli na kawałki prawie borelowskie'' - prof. dr hab. Piotr Zakrzewski, Uniwersytet Warszawski

Deskryptywna teoria grafów to intensywnie rozwijana w ostatnich latach tematyka badawcza na styku deskryptywnej teorii mnogości i teorii grafów. Graf jest określony przez zbiór swoich  wierzchołków i zbiór krawędzi E, którego elementami są pewne dwuelementowe podzbiory zbioru  X. Jeśli X ma strukturę przestrzeni metrycznej (w naszym przypadku ośrodkowej i zupełnej), to mówimy, że graf jest borelowski, jeśli zbiór jego  krawędzi (ściślej,  zbiór {(x,y) \in X2: {x,y}\in E}) jest borelowskim podzbiorem przestrzeni X2. W kontekście grafów borelowskich można zadawać pytania o to, czy pewne inne zbiory i funkcje, pojawiające się w teorii grafów, też są borelowskie. 

Na wykładzie przedstawię borelowską wersję słynnego twierdzenia Halla o kojarzeniu małżeństw. Następnie pokażę jej związek z jednym z najbardziej zaskakujących twierdzeń matematyki teoretycznej, tzw. paradoksem Banacha-Tarskiego, stwierdzającym, że istnieje podział  kuli jednostkowej w przestrzeni R3 na skończenie wiele podzbiorów, z których następnie za pomocą obrotów i przesunięć  można złożyć dwie rozłączne kule jednostkowe. Okazuje się, że z borelowskiej wersji twierdzenia Halla wynika, że istnieje paradoksalny rozkład kuli na kawałki z własnością Baire'a, czyli prawie borelowskie z topologicznego punktu widzenia. Daje to nowe rozwiązanie problemu Marczewskiego, postawionego w 1930 roku (problem ten został innymi metodami rozwiązany w 1992 r.). 

Główne wyniki mojego wykładu pochodzą z pracy A. Marksa i S. Ungera ,,Baire Measurable Paradoxical Decompositions via Matchings" (Advances in Mathematics 289, 2016, s. 397-410).

Submit abstract

In order to submit your abstract log in using the form below or go to Registration page and create an account with this conference.

Rewrite code from the image

Reload image

Reload image