Programme

 

ODWOŁANE Z POWODU PANDEMNII

3 - mini-kursy przedstawiane przez M. Miśkiewicza, S. Dinewa i P. Raźnego:

M. Miśkiewicz (UW): Minimalizujące przekształcenia harmoniczne - wprowadzenie do ilościowej stratyfikacji

1. Charakteryzacja niektórych klasycznych pojęć (ciągłość, różniczkowalność u) poprzez blow-up, tzn. w terminach zbieżności przeskalowanych funkcji u_r(x) = u(rx).

2. Ilościowe twierdzenie o różniczkowalności dla funkcji klasy C^1 lub lipszycowskich.

3. Minimalizujące przekształcenia harmoniczne. Przykłady osobliwości.

4. Fundamentalne wyniki na temat (częściowej) regularności minimalizujących przekształceń harmonicznych: epsilon-regularność (bez dowodu), ograniczenie wymiaru osobliwości przez n-2 (szkic dowodu).

5. Formuła monotoniczna (dowód słabej wersji), klasyfikacja tzw. przekształceń stycznych i klasyczna stratyfikacja. Twierdzenie o zwartości (bez dowodu) i redukcja wymiaru do n-3 (lekki zarys dowodu).

Literatura

J. Cheeger, *Quantitative differentiation: a general formulation*
R. Schoen, K. Uhlenbeck, *A regularity theory for harmonic maps*
(oryginalna praca stanowiąca punkt wyjścia)
L. Simon, *Theorems on regularity and singularity of energy minimizing maps*
(notatki z wykładu na ETH)

 

S. Dinew (UJ): Wprowadzenie do osobliwości rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych

Abstrakt:

Równania różniczkowe od samego początku rozwoju analizy słuzyły do modelowania zjawisk fizycznych. Z tego też powodu przypisywano im rolę narzędzia podobnie do roli algebry liniowej we współczesnej matematyce. I tak przez wieki teoria równań różniczkowych skupiała się na pytaniach jak rozwiązać dane równanie w sposób jawny, bądź też jak uzyskać dobre przybliżenie rozwiązania. Dopiero rozwój XX-wiecznej matematyki wykazał iż niektóre równania posiadaja rozwiązania osobliwe, niezgodne z fizyczną intuicją.

Podczas wykładów postaram sie wyjasnić, że nie zawsze gładkie równanie posiada gładkie rozwiązanie. Zostaną przeanalizowane mechanizmy powstawania osobliwości, a także zostaną wprowadzone pewne narzędzia do jakościowej analizy osobliwości rozwiązań.

P. Raźny (UJ):   Krzywizna Riemanna, Krzywizna Ricciego i granice Gromova-Hausdorffa:

Abstrakt: 

Przypomnimy podstawawe pojęcia geometrii różniczkowej takie jak: metryki Riemannowskie, koneksje oraz krzywe geodezyjne wraz z niektórymi ich własnościami.

Następnie przejdziemy do idei krzywizny oraz porównania krzywizny Ricciego i krzywizny Riemanna poprzez omówienie w jaki sposób mierzą one 

"zakrzywienie" rozmaitości. Skupimy się tu głównie na geometrycznej intuicji i przykładach. Na koniec wprowadzimy pojęcia metryki i granicy Gromova-

Hausdorffa oraz wskażemy zwiazek między nimi a poruszoną wcześniej tematyką krzywizny. Omówimy tu między innymi Twierdzenie Gromova o zwartości 

oraz znaczenie tego zwiąsku w kontekście badania struktury zbiorów osobliwości.

 

Plan:

Sobota
09.15 – 10.00 P. Raźny
10.15 – 11.00 P. Raźny
kawa
11.30 – 12.15 P. Raźny
12:30 – 13.15 S. Dinew
lunch
14.15 – 15.00 M. Miśkiewicz
15.15 – 16.00 M. Miskiewicz

Niedziela
09.15 – 10.00 S. Dinew
10.15 – 11.00 S. Dinew
kawa
11.30 – 12.15 M. Miśkiewicz
12.30 – 13:15 M. Miśkiewicz