JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

Factorizations of some periodic linear recurrence systems

Tom 166 / 2021

Curtis Cooper, Richard Parry Jr. Colloquium Mathematicum 166 (2021), 171-186 MSC: Primary 11B39; Secondary 15A18, 11B37. DOI: 10.4064/cm8362-1-2021 Opublikowany online: 25 February 2021

Streszczenie

Let $P$ and $Q$ be relatively prime integers. The Lucas sequences are defined by $U_0 = 0$, $U_1 = 1$, $V_0 = 2$, $V_1 = P$, and $$ U_n = P U_{n-1} - Q U_{n-2} \quad \text {and} \quad V_n = P V_{n-1} - Q V_{n-2} , $$ where $n \ge 2$. We show that $$\begin {array}{rll} U_n &= \prod _{k=1}^{n-1} \biggl ( P - 2 \sqrt {Q} \cos \frac {k\pi }{n} \biggr ) , \quad \ &n &\ge 2,\\ V_n &= \prod _{k=1}^n \biggl ( P - 2 \sqrt {Q} \cos \frac {(k- {1}/{2})\pi }{n} \biggr ) ,\quad \ &n&\ge 1. \end {array}$$ The proofs depend on finding the eigenvalues and eigenvectors of certain tridiagonal matrices.

Next, let $a_1$, $a_2$, $b_1$, and $b_2$ be real numbers. A period two second order linear recurrence system is defined to be the sequence $f_0 = 1$, $f_1 = a_1$, and $$ f_{2n} = a_2 f_{2n-1} + b_1 f_{2n-2} \quad \text {and}\quad f_{2n+1}= a_1 f_{2n} + b_2 f_{2n-1} $$ for $n \ge 1$. Also, let $D = a_1 a_2 + b_1 + b_2$ and assume $D^2 - 4b_1 b_2 \ne 0$. We show that $$ f_{2n+1} = a_1 \prod _{k=1}^n \biggl ( \frac {a_1 + a_2}{2} \pm \sqrt { \biggl ( \frac {a_1 - a_2}{2} \biggr ) ^2 - b_1 - b_2 + 2 \sqrt {b_1 b_2} \cos \frac {k\pi }{n+1}} \biggr ) $$ for $n \ge 0$. The proof also depends on finding the eigenvalues and eigenvectors of a certain tridiagonal matrix.

Autorzy

  • Curtis CooperSchool of Computer Science and Mathematics
    University of Central Missouri
    Warrensburg, MO 64093, U.S.A.
    e-mail
  • Richard Parry Jr.School of Computer Science and Mathematics
    University of Central Missouri
    Warrensburg, MO 64093, U.S.A.

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek