JEDNOSTKA NAUKOWA KATEGORII A+

Artykuły w formacie PDF dostępne są dla subskrybentów, którzy zapłacili za dostęp online, po podpisaniu licencji Licencja użytkownika instytucjonalnego. Czasopisma do 2009 są ogólnodostępne (bezpłatnie).

The completion of the hyperspace of finite subsets, endowed with the $\ell ^1$-metric

Tom 166 / 2021

Iryna Banakh, Taras Banakh, Joanna Garbulińska-Węgrzyn Colloquium Mathematicum 166 (2021), 251-266 MSC: Primary 54B20, 54E35; Secondary 54E50, 54F45, 05C90. DOI: 10.4064/cm8226-11-2020 Opublikowany online: 22 April 2021

Streszczenie

For a metric space $X$, let $\mathsf FX$ be the space of all non-empty finite subsets of $X$ endowed with the largest metric $d^1_{\mathsf FX}$ such that for every $n\in \mathbb N $ the map $X^n\to \mathsf FX$, $(x_1,\ldots ,x_n)\mapsto \{x_1,\ldots ,x_n\}$, is non-expanding with respect to the $\ell ^1$-metric on $X^n$. We study the completion of the metric space $\mathsf F^1\!X=(\mathsf FX,d^1_{\mathsf FX})$ and prove that it coincides with the space $\mathsf Z^1\!X$ of non-empty compact subsets of $X$ that have zero length (defined with the help of graphs). We prove that each subset of zero length in a metric space has 1-dimensional Hausdorff measure zero. A subset $A$ of the real line has zero length if and only if its closure is compact and has Lebesgue measure zero. On the other hand, for every $n\ge 2$ the Euclidean space $\mathbb R ^n$ contains a compact subset of 1-dimensional Hausdorff measure zero that fails to have zero length.

Autorzy

  • Iryna BanakhPidstryhach Institute for Applied Problems
    of Mechanics and Mathematics
    National Academy of Sciences of Ukraine
    Naukova 3b
    Lviv, Ukraine
    e-mail
  • Taras BanakhIvan Franko National University of Lviv
    Lviv, Ukraine
    and
    Jan Kochanowski University
    Kielce, Poland
    e-mail
  • Joanna Garbulińska-WęgrzynJan Kochanowski University
    Kielce, Poland
    e-mail

Przeszukaj wydawnictwa IMPAN

Zbyt krótkie zapytanie. Wpisz co najmniej 4 znaki.

Przepisz kod z obrazka

Odśwież obrazek

Odśwież obrazek