KONWERSATORIUM DLA DOKTORANTÓW

rok akademicki 2007/2008

06.06.2008Janusz Uchmański Matematyczne modelowanie procesów ekologicznych
30.05.2008Alain Lascoux Polynomials in several variables and interpolation
16.05.2008Krzysztof Diks Skojarzenia w grafach - teoria i algorytmy
09.05.2008Andrzej Schinzel Solved and unsolved problems on polynomials
25.04.2008Rafał Latała Inequalities for Gaussian Measures
18.04.2008Anna Jaśkiewicz Markowskie procesy decyzyjne i związane z nimi kryteria optymalności
11.04.2008Joseph Varilly Moyal quantization on homogeneous symplectic manifolds
28.03.2008Jerzy Browkin Twierdzenie abc dla wielomianów (The abc theorem for polynomials)
14.03.2008Piotr Przytycki Flag-no-square triangulations
07.03.2008Krzysztof Oleszkiewicz On the Khinchine-Kahane inequality
29.02.2008Krzysztof Pawałowski Smith equivalence of representations of finite groups
22.02.2008Adrian Langer Moduli spaces
18.01.2008Marta Szumańska Zastosowania krzywizny Mengera (Applications of Menger curvature)
11.01.2008Yuri Tomilov The Sz.-Nagy similarity problem and the Blum-Hanson property
04.01.2008Adam Osękowski O pewnych nierównościach martyngałowych i ich odpowiednikach w Analizie Funkcjonalnej i Analizie Harmonicznej
14.12.2007Karol Palka Algebraic geometry, theory of open surfaces
07.12.2007Sławomir Cynk Rozmaitości Calabi-Yau
30.11.2007Mats Bodin Besov spaces on non-smooth sets
23.11.2007Jesus F. M. Castillo A hitchhiker guide to categorical Banach space theory
16.11.2007Andrzej Palczewski Optymalizacja dużego portfela inwestycyjnego - rozwiązanie praktyczne
09.11.2007Andrzej Weber Globalne niezmienniki w teorii osobliwości
19.10.2007Aleksander Wittlin
i Aleksy Bartnik
Chaos, który można zobaczyć i usłyszeć
12.10.2007Özer Öztürk Toric surfaces and the diagonal property
05.10.2007Grzegorz Łysik Uogólnione funkcje analityczne

Janusz Uchmański

Ekologia jest działem biologii, który zajmuje się zwierzętami i roślinami w ich naturalnych środowiskach. Podstawowym problemem ekologii jest pytanie o różnorodność biologiczną przyrody. Od lat dwudziestych XX wieku w ekologii używano metod matematycznych. Były to tak zwane modele zmiennych stanu, czyli równania różniczkowe i różnicowe. Ta klasyczna ekologia matematyczna umarła cichą śmiercią w latach dziewięćdziesiątych ubiegłego wieku głównie z dwóch powodów: nastąpił ogromny rozwój biologii ewolucyjnej oraz ekolodzy zaczęli przywiązywać mniejsze znaczenie do stanów równowagi opisywanych układów. Ponieważ podstawowym obiektem badań ekologii jest osobnik - to nim głównie zajmuje się biologia ewolucyjna - w ekologii zaczęło się pojawiać tak zwane podejście osobnicze do modelowania układów ekologicznych. Zostanie wyjaśnione, co to takiego, jak również zostanie postawione pytanie, czy biologia (w szczególności ekologia) potrzebuje pewnej "nowej matematyki", gdyż dotychczasowa matematyka znajduje zastosowanie głównie w fizyce i technice.


Alain Lascoux

Compared to the case of functions of a single variable, or to the case of symmetric functions, there are not many algebraic tools to manipulate polynomials in several variables. Fortunately, Newton defined divided differences, which can be used to generate several linear bases of the ring of polynomials: Grothendieck polynomials, Demazure characters, Schubert polynomials, Macdonald polynomials. The last two families can in fact be defined by vanishing conditions, and we shall show that mere interpolation methods suffice to recover their main properties.


Krzysztof Diks

Skojarzeniem w grafie (skończonym) nazywamy każdy podzbiór zbioru krawędzi grafu, w którym żadne dwie krawędzie nie mają wspólnego końca. Problem najliczniejszego skojarzenia polega na wyznaczeniu w danym grafie skojarzenia o największej mocy. Jest to jeden z tych problemów, które były motorem rozwoju teorii algorytmów wielomianowych, a w szczególności algorytmicznej teorii grafów. Na wykładzie opowiem o najważniejszych i najciekawszych algorytmach dla problemu najliczniejszego skojarzenia w grafie oraz przedstawię kilka interesujących problemów otwartych.


Andrzej Schinzel

This is an updated version of a lecture given at the Banach Center Colloquium in 1993 (Banach Center Publications, Vol. 34) on polynomials in one variable.


Rafał Latała

Gaussian random variables and processes always played a central role in the probability theory and statistics. The modern theory of Gaussian measures combines methods from probability theory, analysis, geometry and topology and is closely connected with diverse applications in functional analysis, statistical physics, convex geometry, financial mathematics and other areas.

In the talk I will present several inequalities of geometric nature for Gaussian measures. All of them have elementary formulations, but nevertheless yield many important and nontrivial consequences. I will begin with the already classical Gaussian isoperimetric inequality that inspired in the 70's and 80's the vigorous development of concentration inequalities and their applications in the geometry and local theory of Banach spaces. In the sequel I will review several more recent results: Ehrhard-Borell inequality, S-inequality, B-inequality and small ball estimates. I will conclude with a discusion of the Gaussian correlation conjecture that remains unsolved for more than 30 years.


Anna Jaśkiewicz

W referacie podam definicje markowskiego procesu decyzyjnego i różnych typów strategii decydenta. Następnie omówię kryteria optymalności takie jak: dyskontowane, średniego kosztu na jednostkę czasu oraz kryterium średniego kosztu, gdy decydent wrażliwy jest na ryzyko (tzw. risk-sensitive cost criterion). Opowiem o możliwości otrzymania rozwiązania równania (bądź nierówności) optymalności dla tych kryteriów i optymalnej strategii.


Joseph Varilly

The transition from classical to quantum mechanics replaces functions of position and momentum variables by noncommuting quantities, which are usually operators on a Hilbert space. In the deformation approach developed by Weyl, Wigner and Moyal, instead one imposes on a noncommutative multiplication on the same functions. The method works best when the phase space is homogeneous under a suitable Lie group of symmetries. The Kirillov orbit method can then be used to construct a quantizer, linking the classical and quantum pictures in a symmetric manner. These quantizers have many uses, from the analysis of spin systems and signal theory to Fourier transforms on groups.


Jerzy Browkin

Zamierzam mówić o elementarnym twierdzeniu dotyczącym stopni i zer wielomianów: Jeżeli F(X)+G(X)=H(X) są względnie pierwszymi wielomianami, to maksymalny z ich stopni jest mniejszy niż liczba różnych zer ich iloczynu. Powiem też o analogicznej hipotezie dotyczącej liczb całkowitych, tak zwanej hipotezie abc. Wykład będzie zupełnie elementarny, poza pojęciem pochodnej wielomianu nie będę wykraczał poza wiadomości ze szkoły średniej.

I would like to speak about the abc theorem for polynomials and on related topics. The theorem says that if relatively prime polynomials not all constant F, G, H satisfy F+G=H, then the maximal of their degrees is less than the number of distinct zeros of their product F*G*H.


Piotr Przytycki

We show that any simplicial complex of dimension 3 admits a flag-no-square subdivision. This allows to construct, in dimension 3, hyperbolic groups (right-angled Coxeter) with interesting Gromov boundaries (which are Jakobsche's "trees of manifolds"). This is joint work with Jacek Świątkowski.


Krzysztof Oleszkiewicz

We will introduce the Khinchine inequality and deduce some properties of Rademacher sums, i.e. sums of the form ∑kakrk, where a1, a2, … are real numbers and r1, r2, … are symmetric independent Bernoulli (±1 with probability 1/2) random variables. In a related inequality, introduced by J.-P. Kahane, the real coefficients (ak) are replaced by vectors.


Adrian Langer

I will talk about moduli spaces and their applications in several branches of mathematics.

Moduli space is a variety parametrizing some "geometric" objects like curves of fixed genus, representations of Galois group, vector bundles, connections, instantons etc. They found applications in number theory, algebraic geometry, algebraic topology, differential geometry or mathematical physics.

I will try to define the notion of moduli spaces, give some examples (sometimes very elementary) and show a few of their applications.


Marta Szumańska

W 1930 roku Menger zauważył, że promień okręgu opisanego na trójkącie można wyrazić wyłącznie za pomocą odległości między wierzchołkami, a więc że tę wielkość można uogólnić na dowolną przestrzeń metryczną i wykorzystać do badania geometrycznych własności łuków metrycznych. Odwrotność promienia okręgu przechodzącego przez trzy różne punkty, nazywana krzywizną Mengera, została doceniona po roku 1970 dzięki pracom Melnikova i obecnie jest wykorzystywana do badania i opisywania własności podzbiorów Rn i Cn. Podczas referatu planuję przedstawić związki między całkową wersją krzywizny Mengera a przeliczalną prostowalnością oraz pewnymi analitycznymi własnościami podzbiorów płaszczyzny zespolonej. Przedyskutuję także regularność krzywych zamkniętych w R3 o skończonej całkowej energii związanej z krzywizną Mengera.

In 1930 Menger discovered that R(x,y,z) - the radius of a circle passing through three distinct points x,y and z may be expressed only in terms of distances between these points and that this quantity may be used to investigate geometric properties of metric arcs in an arbitrary metric space.

The reciprocal of R(x,y,z) is called the Menger curvature of three points. In 1970 Melnikov rediscover the Menger curvature and since then this notion is used to investigate analytical and geometrical properties of subsets of Rn and Cn.

During my talk I will show some relations between the integral version of the Menger curvature of a set and rectifiability and analytical properties of subsets of the complex plane. I will also discuss regularity of curves in R3 with finite Menger-type energy.


Yuri Tomilov

One of the most challenging problems in operator theory was to decide whether every polynomially bounded operator on a Hilbert space is similar to a contraction. The problem was posed by Halmos in 1970 as a refined version of a B. Sz.-Nagy question (1959) on similarity to contractions of power bounded operators on Hilbert spaces. While the B. Sz.-Nagy problem was answered in the negative quite soon by S. R. Foguel, the Halmos problem remained open for a long time. It was solved in the negative by G. Pisier in 1996, following substantial contributions by Peller, Bourgain and Davidson-Paulsen.

In this talk I will present a negative solution to a refined version of Sz.-Nagy problem showing that there are power bounded operators on a Hilbert space which can not be even intertwined with a contraction in a natural sense. To this aim, a negative solution of an old problem from operator ergodic theory concerning asymptotic properties of power bounded operators will be presented as well. Both problems appeared to be closely related, and I will also discuss various byproducts of their interplay.

My talk is based on a joint paper with V. Müller. It will be accessible to students with a background in functional analysis.


Adam Osękowski

Podczas odczytu przedstawię szereg nierówności dla martyngału i jego transformaty przez prognozowalny ograniczony ciąg. Następnie uogólnimy te oszacowania na nieco szerszą klasę martyngałów (przy założeniu tzw. silnej dominacji). Jednym z zastosowań tych wyników są pewne oszacowania dotyczące układu Haara. Ponadto, przejście od transformat do martyngałów silnie dominowanych umożliwia uzyskanie interesujących nierówności dla funkcji harmonicznych określonych na obszarach w Rⁿ.


Karol Palka

My goal is to explain with examples what kind of problems appear in affine algebraic geometry and what are the basic notions. Tools of algebraic geometry will be discussed in connection to the theory of open surfaces. I want to show what is interesting for me in algebraic geometry and why it is interesting for others (topologists, physicists, ...). I will also present my results concerning the problem of classifying acyclic singular algebraic surfaces. This talk should be understandable to broad audience.


Sławomir Cynk

Rozmaitości Calabi-Yau są to trójwymiarowe rozmaitości kaehlerowskie o znikającej pierwszej liczbie Bettiego oraz trywialnym dywizorze kanonicznym. Zainteresowanie nimi wynika m.in. ze względu na zastosowania w fizyce (teoria superstrun), a także ich znaczenie w geometrii algebraicznej (odgrywają szczególną rolę wśród zwartych, zespolonych rozmaitości trójwymiarowych). Przykładem problemu matematycznego mającego swoje źródła w zastosowaniach fizycznych jest hipoteza symetrii lustrzanej.

W pierwszej części referatu zamierzam omówić definicje i najprostsze własności rozmaitości Calabi-Yau (w tym ich najważniejsze niezmienniki liczbowe), oraz podam przykłady konstrukcji. Następnie skoncentruję się na zagadnieniach arytmetycznych z nimi związanych, głównie na tzw. hipotezie modularności.


Mats Bodin

Questions regarding function spaces on boundaries arise when studying partial differential equations. It is then natural to ask what happens when the boundaries are non-smooth. We give an introduction to Besov spaces on non-smooth subsets of Rn. Then we introduce the concept of harmonic functions on the Sierpinski gasket and give a characterization of some spaces by means of the magnitude of the coefficients of the expansion of a function in a piecewise harmonic base.


Jesus F. M. Castillo

Functional analysis, in general, and Banach space theory, in particular, are unthinkable outside the ambient of algebraic structures. In fact, Functional analysis could be defined as the blend of algebra and topology.
On the other hand, one of the major achievements of mathematics in the XXth century is category theory, whose importance comes from the fact of establishing a common language for all mathematics. Many areas in mathematics have joyfully accepted the incorporation of the categorical language to their basic corpus, as far as it is known. There is, however, one area presenting a sturdy resistance to any categorical approach: Banach space theory. In this conference we attempt to establish a few travel signals along the road "Categorical Banach space theory", understood as the blend of categorical algebra and Banach space theory.
Summing all up, we will make some nice mathematics - some of them inside Banach space theory - but we will also discuss a while about the way we make mathematics.


Andrzej Palczewski

W wykładzie zostaną przedstawione metody optymalizacji portfela inwestycyjnego. Szczególna uwaga będzie zwrócona na metody stosowane w praktyce rynkowej. Pokazane będą mankamenty klasycznego podejścia Markowitza wynikające ze złych własności estymatorów rozkładów ze skończonej próby. Jako alternatywne rozwiązanie stosowane powszechnie w praktyce przedstawimy metodę Blacka-Littermana oraz szczegóły jej implementacji. W szczególności zwrócona zostanie uwaga na fakt, że metoda ta matematycznie ma charakter „czarnej skrzynki”. Zaprezentowane będą pewne modele matematyczne, które próbują wyjaśnić metodę Blacka-Littermana. Postawimy także otwarte problemy, jakie pojawiają się przy próbach rozszerzania tego modelu.

Wykład będzie ilustrowany przykładami stworzonymi w trakcie współpracy grupy matematyków z UW i PAN z Narodowym Bankiem Polskim.


Andrzej Weber

Dobrze znane twierdzenie Poincarégo-Hopfa mówi, że na rozmaitości zwartej pole wektorowe ze skończoną ilością zer ma sumę indeksów równą charakterystyce Eulera rozmaitości. Twierdzenie to jest przykładem ogólniejszej zasady. Teoria osobliwości pozwala konstruować różnorakie lokalne niezmienniki dla pól wektorowych, odwzorowań wiązek, odwzorowań rozmaitości itp., które mierzą, na ile dany obiekt jest zdegenerowany. Często są to niezmienniki homologiczne, najwygodniej wyrażone przez geometryczne cykle. Okazuje się, że globalna wartość takiego niezmiennika na ogół jest związana z topologicznymi własnościami rozmaitości. Na konwersatorium po niezbędnym wstępie omówię szczegółowo wielomiany Thoma, które są pewnymi klasami charakterystycznymi związanymi z osobliwościami odwzorowań rozmaitości zespolonych.


Aleksander Wittlin i Aleksy Bartnik

Omówimy i zademonstrujemy różne klasy zjawisk związanych z chaosem w układach dynamicznych. Pokażemy te zjawiska przy pomocy prostych nieliniowych układów elektronicznych, takich jak dioda Chua i układy mnożące do analogowej realizacji Suneela równania logistycznego. Omówimy także potencjalne zastosowania takich układów.


Özer Öztürk

A smooth variety X of dimension n is said to satisfy the diagonal property if there exists a vector bundle E of rank n on X×X and a section s of E such that the image of the diagonal embedding of X into X×X is the zero scheme of s. The (systematical) study of varieties satisfying the diagonal property started with the work of Pragacz - Srinivas - Pati. Even though there are many cases where the answer is affirmative, only in a few examples an explicit description of the vector bundle is known. After an exposition of toric varieties, we shall discuss this question in the particular case when X is a toric surface, in search for such examples.


Grzegorz Łysik

Na wykładzie przedstawię pochodzącą od Bogdana Ziemiana definicję uogólnionych funkcji analitycznych. Następnie przedstawię ich podstawowe własności, charakteryzację, związki z teorią funkcji wypływających J. Ecale'a i zastosowanie do badania równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych.