Rozważamy liniowe równanie kinetyczne w jednym wymiarze przestrzennym,
ze zdegenerowanym jądrem operatora rozpraszania, oraz warunkiem
odbicia-transmisji-absorpcji na punktowym interfejsie.
Tego typu równanie opisuje np makroskopową granicę gęstości energii dla
harmonicznego łańcucha składającego się z oddziaływujących oscylatorów,
którego dynamika zaburzona jest przez szum zachowujący energię i pęd
oraz będącego w kontakcie z punktowym termostatem.
Omówię wyniki dotyczące asymptotyki rozwiązań tego typu równań
kinetycznych dla odpowiedniego skalowania współrzędnych czasu i
przestrzeni. W zależności od własności funkcji opisującej dryf,
skalowanie to może być dyfuzyjne, lub też superdyfuzyjne. Stosowne
granice rozwiązań spełniają: równanie ciepła (w przypadku skalowania
dyfuzyjnego) z warunkiem brzegowym Dirichleta, lub też ułamkowe równanie
ciepła z pewnym warunkiem brzegowym (w przypadku skalowania
superdyfuzyjnego). Podstawową metodą użytą w dowodach uzyskanych wyników
jest zastosowanie reprezentacji probabilistycznej dla rozwiązań tego
typu równań oraz opis asymptotyki odpowiednich procesów
stochastycznych. Zaprezentowane rezultaty uzyskane zostały we współpracy
z G. Basile (Univ. Roma I), S. Olla (Univ. Paris-Dauphine) oraz L.
Ryzhikiem (Stanford Univ.).