Mówimy, że słowo $U$ zawiera kwadrat, jeżeli $U=AXXB$ dla pewnych słów $A$, $B$
i pewnego niepustego słowa $X$. Słowo, które nie zawiera kwadratu, nazywamy
słowem bezkwadratowym. Rozszerzeniem słowa $V=AB$ nazywamy słowo $V=AxB$,
gdzie $x$ jest literą. Klasyczny wynik Thue'go (1906) mówi, że już nad
alfabetem trójelementowym istnieją dowolnie długie słowa bezkwadratowe.
W 2019 roku J. Grytczuk, H. Kordulewski i A. Niewiadomski udowodnili, że
nad alfabetem trójelementowym istnieje nieskończenie wiele ekstremalnych
słów bezkwadratowych (tj. słów bezkwadratowych, których każde
rozszerzenie jest kwadratem). W niniejszym referacie przedstawię kilka
wyników i hipotez związanych z dalszymi badaniami zagadnień związanych z
rozszerzaniem słów bezkwadratowych.
Na podstawie pracy wspólnej z Jarosławem Grytczukiem i Hubertem
Kordulewskim.