W referacie przedstawię wyniki uzyskane wspólnie z T. Komorowskim na
temat uogólnień lematu Hopfa dla słabych podrozwiązań równań
liniowych z operatorami całkowo-różniczkowymi typu Lévy'ego.
Dokładniej dowodzimy, że jeżeli dla zadanego operatora Lévy'ego
zachodzi mocna zasada maksimum oraz istnieje rozwiązanie związanego z
nim problemu martyngałowego, to istnieje ściśle dodatnia funkcja
borelowska (funkcja spodnia), zależna tylko od współczynników operatora
oraz od dziedziny,
która szacuje z dołu przyrosty podrozwiązań wokół punktów maksymalnych.
Ponadto dowodzimy wersji ilościowej lematu Hopfa, w której stała w
oszacowaniu jest wartością maksymalną podrozwiązania. Następnie,
formułujemy warunek konieczny i dostateczny, wyrażony w języku własności
ergodycznych rezolwenty, na to, aby funkcja spodnia była ściśle dodatnią
funkcją własną operatora.