W referacie przedstawię wyniki uzyskane wspólnie z T. Komorowskim na temat uogólnień lematu Hopfa dla słabych podrozwiązań równań liniowych z operatorami całkowo-różniczkowymi typu Lévy'ego. Dokładniej dowodzimy, że jeżeli dla zadanego operatora Lévy'ego zachodzi mocna zasada maksimum oraz istnieje rozwiązanie związanego z nim problemu martyngałowego, to istnieje ściśle dodatnia funkcja borelowska (funkcja spodnia), zależna tylko od współczynników operatora oraz od dziedziny, która szacuje z dołu przyrosty podrozwiązań wokół punktów maksymalnych. Ponadto dowodzimy wersji ilościowej lematu Hopfa, w której stała w oszacowaniu jest wartością maksymalną podrozwiązania. Następnie, formułujemy warunek konieczny i dostateczny, wyrażony w języku własności ergodycznych rezolwenty, na to, aby funkcja spodnia była ściśle dodatnią funkcją własną operatora.