Probabilistyczne miary niezmiennicze są głównym narzędziem opisu asymptotycznego zachowania układów dynamicznych i ich własności ergodycznych i stochastycznych. Wychodząc od naturalnych przykładów, przedstawię metodę konstruowania miar niezmienniczych. Polega ona na szukaniu punktów stałych operatora Ruella i stosuje się m.in. do gładkich przekształceń rozszerzających, funkcji wymiernych na sferze Riemanna, czy endomorfizmów zespolonych przestrzeni rzutowych.

Opowiem, jak własności spektralne operatora Ruella przekładają się na własności stochastyczne układu dynamicznego, np. wykładnicze malenie korelacji, centralne twierdzenie graniczne oraz prawo iterowanego logarytmu. Opiszę również, jak dzięki temu wyznaczyć asymptotykę liczby okręgów w tzw. upakowaniu Apoloniusza oraz asymptotykę liczby zamkniętych geodezyjnych na niektórych rozmaitościach hiperbolicznych. Wreszcie, zatrzymam się przy geometrii fraktalnej zbiorów Julii funkcji wymiernych oraz przestępnych funkcji meromorficznych, a zakończę na własnościach rozwinięć w ułamki łańcuchowe.