Motywem przewodnim referatu będzie zbiór popularnych sum pewnego skończonego podzbioru liczb naturalnych A. Każdy element ze zbioru wszystkich sum A+A można wyrazić jako sumę dwóch liczb z A na średnio |A|^2/|A + A| sposobów. Popularne sumy to takie, które przekraczają ten próg (pomnożony przez wybraną małą stałą).

Wspomnimy o wyniku Sandersa [1], który mówi, że w zbiorze popularnych sum można znaleźć ciekawe struktury takie jak ciągi arytmetyczne czy zbiory Bohra (tam musimy rozważać popularne sumy w A+A+A+A). Budując na tym przedstawimy wynik autora [2], który pozwala na znalezienie wielu rozwiązań równań liniowych w gęstych zbiorach liczb. Jeśli czas pozwoli, opiszemy również inne kombinatoryczne zastosowania.

[1] T. Sanders, On the Bogolyubov–Ruzsa lemma. Anal. PDE 5 (3) 627 - 655, 2012.
[2] _, Invariant Equations in Many Variables. Electronic Journal of Combinatorics, Volume 32, Issue 3 (2025).