W referacie przedstawię ujednolicone, operatorowe podejście do zagadnienia istnienia dodatnich rozwiązań równań półliniowych z częścią liniową zadaną przez generator nieujemnej mocno ciągłej półgrupy na przestrzeni funkcji całkowalnych. Kluczowymi założeniami są zwartość rezolwenty oraz nieredukowalność półgrupy. Dla szerokiej klasy nieliniowości spełniających jednostronne warunki wzrostu wprowadzamy wielkości spektralne opisujące zachowanie nieliniowości w pobliżu zera oraz dla dużych amplitud.

Główny wynik stanowi kryterium istnienia rozwiązania dodatniego oparte na porównaniu dwóch wielkości spektralnych odpowiadających zachowaniu nieliniowości w pobliżu zera oraz w nieskończoności. Wykazujemy, że odpowiednie przecięcie tych progów spektralnych gwarantuje istnienie dodatniego rozwiązania. Następnie badamy wersje parametryczne (obejmujące jako przykład modelowy równania logistyczne) i otrzymujemy pełne twierdzenia typu „wtedy i tylko wtedy”, warunki jednoznaczności w klasie rozwiązań dodatnich przy monotoniczności ilorazu nieliniowości przez argument, a także wyniki dotyczące stabilności oraz zależności rozwiązań od parametru.

Proponowane podejście ma charakter operatorowy, ale w kluczowych miejscach wykorzystujemy reprezentację Feynmana-Kaca dla półgrup zaburzonych, wzór Ito-Meyera oraz pojęcie funkcji supermedianowych z probabilistycznej teorii potencjału. W konsekwencji nie wymagamy od półgrupy żadnych założeń o wygładzaniu (takich jak ultrakontraktywność czy fellerowskość), dzięki czemu obejmujemy w jednolity sposób szeroką klasę operatorów (lokalnych i nielokalnych) na przestrzeniach o małej regularności.