Omówimy asymptotyczne zachowanie cechowanych procesów Hawkesa, gdy przyspiesza się czas. Rozważane procesy są procesami zliczającymi wystąpienia pewnych zdarzeń i mają one własność samowzbudzania - każde zdarzenie zwiększa intensywność pojawiania się kolejnych zdarzeń w przyszłości. Badamy jedną z typowych klas cechowanych procesów Hawkesa, gdzie każde zdarzenie zwiększa intensywność występowania następnych zdarzeń o pewną ustaloną bazową funkcję wymnożoną przez "cechę" danego zdarzenia, przy czym cechy losowane są niezależnie z tego samego rozkładu. Rozważamy przypadek krytyczny, tj. gdy średnia liczba zdarzeń wzbudzanych przez jedno zdarzenie jest równa 1. Jesteśmy szczególnie zainteresowani przypadkiem, gdy zarówno bazowa funkcja intensywności, jak i rozkład cech mają ciężkie ogony. Pokażemy jak zależność pomiędzy zachowaniem tych dwóch ogonów wpływa na zachowanie graniczne dla dużych czasów procesu liczącego zdarzenia. W szczególności przedstawimy rodzaj centralnego twierdzenia granicznego, gdzie po odjęciu średniej i unormowaniu, w granicy otrzymujemy pewien ciekawy proces stabilny z zależnościami dalekiego zasięgu. W innym wypadku (bez centrowania) otrzymujemy zbieżność do stabilnego procesu Levy'ego. W naszym podejściu używamy gałązkowej reprezentacji cechowanego procesu Hawkesa. Wyniki można rozszerzyć na większą klasę procesów gałązkowych.