Opiszemy dwie geometryczne konstrukcje generujące lokalne konforemne niezmienniki dla foliacji rozmaitości o stałej krzywiźnie - jedna w wymiarze 2, druga w wymiarach > 2. Pokażemy, jak iterowanie pierwszej z nich prowadzi do pewnego zaburzonego układu dynamicznego na sferze Riemanna i omówimy pewne jego własności.