Problemy i rezultaty w teorii podrozmaitości

1. Ocena zewnetrznej średnicy podrozmaitości przestrzeni euklidesowej,

(problem Cherna);

2. O stabilnosci minimalnych powierzchni,(problem Hopfa);

3. Izometryczne zanurzenia obszarów n-wymiarowej przestrzeni Łobaczewskiego w (2n-1)- wymiarową przestrzeń euklidesową;

4. Obraz Grassmanna podrozmaitości;

5. Układ Bianchi'ego ortogonalnych współrzędnych w wielowymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Podstawowym problemem geometrii podrozmaitości jest problem izometrycznej immersji (zanurzenia) przestrzeni (rozmaitości) Riemanna w przestrzeń euklidesową (lub inną przestrzeń Riemanna) w postaci regularnej podrozmaitości.

Ten problem sprowadza się do rozwiązania układu Gaussa-Codazzi-Ricci'ego równań różniczkowych cząstkowych. A jeżeli już mamy podrozmaitość, wtedy jest interesujące ocenić geometryczne charakterystyki tej podrozmaitości.

H.Weil, A.D.Alexandrov, A.V.Pogorelov, N.V.Efimov i inni udowodnili ważne i trudne twierdzenia dotyczące immersji 2-wymiarowych metryk w 3-wymiarową przestrzeń euklidesową E³. W pracach Burstina, Cartana, Jane, Nasha, Rochlina, Gromova i innych zbudowane są immersje n-wymiarowych przestrzeni Riemanna Mⁿ w przestrzeń euklidesową E^N. Nash udowodnił, że jezeli N jest dostatecznie duże, wtedy Mⁿ można włożyc w kulę w E^N o dowolnie małym promieniu.

S.S.Chern zaproponował problem następujący:
Niech F² w E³ będzie zupełną powierzchnią minimalną. Czy bedzie ona nieograniczona w E³?

Dla minimalnej powierzchni F² w E³ średnia krzywizna H=0. Dla powierzchni i podrozmaitości w E^N korzystamy z wektora średnej krzywizny H. Dla minimalnej podrozmaitości ten wektor H=0.
Udowodnilem hipotezę S.S.Cherna dla przypadku, kiedy krzywizna Gaussa K jest ograniczona z dołu dowolną stałą. Znalazłem ocenę dla promienia kuli zawierającej podrozmaitość Fⁿ przez górną granicę modułu wektora H.

Ważną charakterystyką minimalnej powierzchni F² jest jej stabilność lub niestabilność. Niech v będzie brzegiem minimalnej powierzchni F². Mówimy, że F² jest stabilna, jeżeli dla wszystkich Φ² z brzegiem v, bliskich F², zachodzi nierówność pól powierzchni
S(Φ²)≥ S(F²).
Istnieje dawny problem Hopfa - hipoteza o niemożliwości istnienia metryki dodatniej krzywizny na produkcie dwóch 2-wymiarowych sfer: S²xS².
Podejściem do rozwiązania tego problemu mogłoby być rozpatrzenie stabilności minimalnych powierzchni homeomorficznych sferze S².

Udowodniłem następujące:

Twierdzenie. Niech F² będzie minimalną powierzchnią homeomorficzną sferze
S² w zupełnej rozmaitości Riemanna M^N, której krzywizna K spełnia
nierówności 1/4<K≤1. Wtedy F² jest niestabilna.

Uwaga: Granica 1/4 jest dokładna.

Ciekawy jest też problem immersji izometrycznej n-wymiarowej przestrzeni Łobaczewskiego Lⁿ w E^N. Według tw. Cartana-Libera, dla lokalnej immersji najmniejszą taką liczbą N jest 2n-1. J.D.Moore rozpatrzył takie zanurzenia i udowodnił istnienie współrzędnych asymptotycznych. Rozszerzając tę pracę, sprowadziłem ogólny układ równań Gaussa-Codacci-Ricci'ego do układu równań tylko na współczynniki pierwszej formy kwadratowej we współrzędnych
krzywiznowych: układ (LE)-układ Łobaczewskiego-Euklidesa. Zbudowałem różne geometryczne klasy tego układu. Udowodniłem twierdzenia o nieistnieniu immersji zupełnej przestrzeni Lⁿ w E^2n-1 przy pewnych geometrycznych warunkach. Jeżeli immersja L³ w E⁵ ma hiperpłaski obraz Grassmanna (uogólnienie sferycznego obrazu), wtedy układ (LE) zawiera w sobie układ równań
Kirhoffa opisujący ruch ciała sztywnego wokół punktu nieruchomego. W przypadku immersji L⁴ w E⁷ z pomocą układu (LE) można zbudować pole kalibrowane, spełniające 1-układ równań Maxwella

i analog 2-układu równań Maxwella.

Literatura.
1.Aminov Y.A.: Zewnętrzna średnica zanurzonej przestrzeni Riemanna
(po rosyjsku), Matem. Sb. 92, No 3 (1973), 456-460.

2.Aminov Y.A.: Geometria podrozmaitości (po rosyjsku),Kijev, Naukova
Dumka, 2002.

3. Aminov Y.A.: Geometry of Submanifolds, Gordon and Breach Scienses
Publishers, Amsterdam, 2001.