O związku pewnych klasycznych konfiguracji

w geometrii incydencyjnej

ze współczesną teorią układów całkowalnych.

Streszczenie:

Wśród specjalistów z teorii układów całkowalnych powszechnie znany jest związek pewnych równań (np. r-nia sin-Gordona, r-ń Darboux) z geometrią pewnych sparametryzowanych podrozmaitości. W szczególności, badane intensywnie w XIX wieku transformacje pomiędzy takimi podrozmaitościami mogą być interpretowane jako "nieliniowe formuły superpozycji" dla odpowiednich równań. Nurt ten był rozwijany od połowy lat 70-ych w grupie prof. Antoniego Syma na Wydziale Fizyki UW.

Analogiczny związek był poszukiwany dla całkowalnych równań dyskretnych (różnicowych), których badania stały się w latach 90-tych jednym z centralnych kierunków teorii solitonów. Okazało się, że na poziomie geometrycznym całkowalność pewnych podstawowych równań teorii dyskretnej jest powiązana z klasycznymi twierdzeniami (Pascala, Moebiusa, Miquela, Sturma, itd.), opisującymi szczególne konfiguracje prostych, płaszczyzn, okręgów, stożkowych, itp.

Celem mego wystąpienia jest przedstawienie roli jaką w geometrycznej teorii całkowalnych układów dyskretnych pełni wielowymiarowa sieć czworoboków płaskich. Zacząć chciałbym od elementarnej dyskusji związanych z tą siecią równań oraz odpowiadającej jej transformacji. Następnie chciałbym pokazać jak można, wykorzystując klasyczne twierdzenia geometrii rzutowej, nałożyć na taką sieć więzy zachowujące tzw. geometryczny schemat całkowalności. Na koniec chciałbym pokazać jak z powyższego obrazka wynika całkowalność równań tzw. wieloskładnikowej hierarchii KP i jej podstawowych redukcji.