GEOMETRYCZNE PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Marek Kuś (CFT PAN)

Referat poświęcony będzie wprowadzeniu i omówieniu podstawowych własności układów kwantowych w skończenie-wymiarowych przestrzeniach Hilberta. Mogą być one realizowane w praktyce w postaci oddziałujących spinów lub układów optycznych, w których atomy oddziałują z promieniowaniem elektromagnetycznym w postaci światła laserowego, a szczególne warunki rezonansowe ograniczają efektywnie przestrzeń stanów kwantowych do skończonego wymiaru. Tego typu układy są obecnie w centrum zainteresowań związanych z ich aktualnymi i potencjalnymi zastosowaniami w inżynierii i informatyce kwantowej.

Zbiór stanów kwantowych (macierzy gęstości) takiego układu jest tożsamy ze zbiorem operatorów hermitowskich o jednostkowym śladzie stanowiących zbiór wypukły w przestrzeni operatorów. Posiada on naturalną stratyfikację na rozmaitości niższego wymiaru określone przez rząd macierzy gęstości. W trakcie referatu opowiem o geometrii tej stratyfikacji. Opiszę też kanoniczną strukturę Poissona oraz odpowiednią foliację zbioru stanów na podrozmaitości Kählera.

Z punktu widzenia zastosowań w urządzeniach kwantowo-informatycznych interesujące są przede wszystkim układy złożone zbudowane z dwóch lub więcej podukładów. Przestrzeń Hilberta układu jest w tym wypadku iloczynem tensorowym przestrzeni podukładów, co komplikuje geometrię zbioru stanów. W szczególności, wyróżnia zbiory tzw. stanów separowalnych i splątanych. Z punktu widzenia zastosowań, szczególnie interesujące są te ostatnie. W czasie referatu omówię wstępnie problemy pojawiające się przy ich geometrycznej charakteryzacji. Szczegółowa dyskusja problemów splątania i separowalności planowana jest w trakcie następnych seminariów.