Streszczenie:
Struktury
konforemne i równania różniczkowe.
W wykładzie przedstawię przykłady równań różniczkowych, z którymi związane są geometrie konforemne różnych wymiarów i sygnatur. Wiele z tych przykładów, znanych matematykom na początku 20tego wieku, zostało zapomnianych, mimo że pochodzą m. in. od tak wybitnych matematyków jak D. Hilbert, E. Cartan czy S. S. Chern.
Wśród znanych mi przykładów tego typu, pierwszy pochodzi od K. Wuenschmanna z 1905 roku. Wuenschmann pokazał, że pewne klasy zwyczajnych równań różniczkowych rzędu trzeciego (na jedną funkcję rzeczywistą) w naturalny sposób definiują konforemne geometrie lorentzowskie na przestrzeni ich rozwiązań. Ta obserwacja została później wyjasniona przez S. S. Cherna (1939), który, badając geometrię zwiazaną z równaniami różniczkowymi stopnia trzeciego rozpatrywanymi modulo transformacje KONTAKTOWE, pokazał że klasy równań Wuenschmanna odpowiadają znikaniu najprostszego niezmiennika kontaktowego dla takich geometrii. Pokazał też, że nierównoważne kontaktowe klasy równań Wuenschmanna są rozróżniane przez so(3,2)-koneksję Cartana, która w naturalny sposób jest przypisana każdej klasie równań Wuenschmanna.
Koneksje te można też zinterpretowac jako normalne koneksje konformene Cartana związane z konformenymi metrykami o sygnaturze (2,1). Metryki te okazują się byc tożsame z konforemnymi metrykami Wuenschmanna z 1905 roku.
Wśród innych, znanych mi przykładów zwiazków między geometriami konforemnymi a równaniami różniczkowymi, są:
- związki między zwyczajnymi równaniami różniczkowymi stopnia 3ciego, rozpatrywanymi modulo transformacje PUNKTOWE, a 3-wymiarowymi lorentzowskimi geometriami Weyla i Einsteina-Weyla (E. Cartan 1938, 1941, 1943);
- związki między zwyczajnymi równaniami różniczkowym stopnia 2giego, rozpatrywanymi modulo transformacje PUNKTOWE (E. Cartan 1924), a 4-ro wymiarowymi konforemnymi geometriami o sygnaturze neutralnej. Geometrie te stanowią analog geometrii Feffermana z sygnatury lorentzowskiej (Ch. Fefferman 1976, PN + G. Sparling 2003). Ich normalna koneksja konforemna Cartana jest redukowalna z algebry so(3,3) do sl(3,R). Pozwala to na utożsamienie niezmienników punktowych równań stopnia drugiego opisanych przez Cartana w języku sl(3,R)-koneksji Cartana, z niezmiennikami konformenymi analogów metryk Feffremana.
- zwiazki między równaniami Monge'a stopnia drugiego (D. Hilbert 1912), koneksją Cartana o wartościach w algebrze Liego niezwartej formy wyjątkowej grupy G2 (E. Cartan 1910) i konforemną metryką o sygnaturze (3,2). Metryka ta ma tę własność, że jej normalna koneksja konforemna Cartana redukuje się do opisanej przez Cartana koneksji z grupą G2.
- wiele innych przykladów, znanych fizykom skupionym wokół E. T. Newmana.
W wykładzie, oprócz przykładu Wuenschmanna, postaram sie omówic przynajmniej pierwsze trzy przyklady z powyższej listy.
Literatura:
-E Cartan "Les sysytemes de Pfaff a cinq variables et les equations aux derivees partielles du second ordre" Ann. Sc. Norm. Sup. 27, 109-192 (1910)
-E Cartan "Varietes a connexion projective" Bull. Soc. Math. LII 205-41 (1924)
-E Cartan "Les espaces generalisees et l'integration de certaines classes d'equations differentielles" C. R. Acad. Sci. 206, 1425-1429 (1938)
-E Cartan "La geometria de las ecuaciones diferenciales de tercer orden" Rev. Mat. Hispano-Amer. 4, 1-31 (1941)
-E Cartan "Sur une classe d'espace de Weyl" Ann. Sc. Ec. Norm. Sup. 3e serie 60 1-16 (1943)
-S S Chern "The geometry of the differential equation y'''=F(x,y,y',y'')" in "Selected Papers" Springer (1978), original (1939)
-C L Fefferman "Monge-Ampere equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains" Ann. Math. 103, 395-416 (1976)
-D Hilbert "Ueber den Begriff der Klasse von Differentialgleichunegn", Mathem. Annalen, Bd 73, 95-108 (1912)
-P Nurowski, G Sparling "Three-dimensional Cauchy-Riemann structures and second order ordinary differential equations" Class. Q. Grav. 4995-5016 (2003)
-K Wuenschman "Ueber Beruehrungsbedingungen bei Integralkurven von Differentialgleichungen" Inaug-Dissert. Greifswald (1905)