Całkowa krzywizna Mengera dla krzywych, powierzchni i innych

zbiorów: efekty wygładzania i braku samoprzecięć

Krzywizna Mengera trójki punktów to odwrotność promienia okręgu przechodzącego przez te punkty, a całkowa krzywizna Mengera krzywej prostowalnej to całka z p-tej potęgi krzywizny Mengera względem wszystkich trójek punktów (całkujemy względem długości łuku).

Okazuje się, że dla pewnych wartości p skończoność tak zdefiniowanej krzywizny gwarantuje, że krzywa ma hoelderowsko ciągły wektor styczny (co wynika z geometrycznych namiastek nierówności Sobolewa-Morreya) i jest pozbawiona samoprzecięć. Podobne funkcjonały i wyniki można wskazać w ogólnym przypadku, dla podrozmaitości przestrzeni euklidesowej; postaram się opowiedzieć o tym w sposób nietechniczny i przystępny.