XX Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne Austria, 25–27 czerwca 1997

Zawody indywidualne, I dzień (25.06.1997)

1. Proste l_{1} i l_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Okr_{}egi S_{1} i S_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w punkcie P i prosta l_{1} jest ich wspóln _{}a styczn _{}a w tym punkcie. Podobnie, okr_{}egi T_{1} i T_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w punkcie P i prosta l_{2} jest ich wspóln _{}a styczn _{}a w tym punkcie. Okr_{}egi S_{1} i T_{1} przecinaj _{}a si_{}e w punktach P i A. Podobnie, okr_{}egi S_{1} i T_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach P i B, okr_{}egi S_{2} i T_{2} w punktach P i C oraz okr_{}egi S_{2} i T_{1} w punktach P i D. Udowodnić, że punkty A, B, C i D leż _{}a na okr_{}egu wtedy i tylko wtedy, gdy proste l_{1} i l_{2} s _{}a prostopadłe.

2. Dana jest szachownica maj _{}aca m kolumn i n wierszy. Każde pole ma współrz_{}edne (x, y), gdzie x jest numerem kolumny (1 ≤ x ≤ m), a y jest numerem wiersza (1 ≤ y ≤ n). Nast_{}epnie niech p i q b_{}ed _{}a liczbami całkowitymi dodatnimi. Pionek stoj _{}acy na polu (x, y) może poruszyć si_{}e na pole (x′, y′) wtedy i tylko wtedy, gdy

|x − x′| = p  i  |y − y′| = q.

Na każdym polu stoi jeden pionek. Chcemy jednocześnie wykonać ruch wszystkimi pionkami tak, aby znów na każdym polu stał tylko jeden pionek. Na ile sposobów można to zrobić?

3. Na tablicy napisano 97 liczb: 48, 24, 16, …, 48/97, tzn. liczby wymierne 48/k dla k = 1, 2, …, 97. W każdym kroku wybieramy dowolnie dwie liczby a i b napisane na tablicy, wycieramy je i wpisujemy liczb_{}e 2ab−a−b+1. Po 96 krokach na tablicy pozostanie dokładnie jedna liczba. Wyznaczyć zbiór liczb, które mog _{}a pozostać na tablicy.

Zawody indywidualne, II dzień (26.06.1997)

4. W czworok _{}acie wypukłym ABCD boki AB i CD s _{}a równoległe. Przek _{}atne AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie E. Nast_{}epnie, punkt F jest punktem przeci_{}ecia wysokości trójk _{}ata EBC, a punkt G punktem przeci_{}ecia wysokości trójk _{}ata EAD. Udowodnić, że środek odcinka GF leży na prostej przechodz _{}acej przez punkt E i prostopadłej do AB.

5. Niech p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4} b_{}ed _{}a czterema różnymi liczbami pierwszymi. Udowodnić, że nie istnieje wielomian trzeciego stopnia Q(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d o współczynnikach całkowitych taki, że

|Q(p_{1})| = |Q(p_{2})| = |Q(p_{3})| = |Q(p_{4})| = 3.

6. Udowodnić, że nie istnieje funkcja f : Z → Z taka, że f(x + f(y)) = f(x) − y dla wszystkich liczb całkowitych x, y.

Uwaga: Z jest zbiorem liczb całkowitych.

Zawody zespołowe (27.06.1997)

7. a) Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych p, q zachodzi nierówność

p^{2} + q^{2} + 1 > p · (q + 1).

b) Wyznaczyć najwiksz _{}a liczb_{}e rzeczywist _{}a b tak _{}a, że dla wszystkich liczb rzeczywistych p, q zachodzi nierówność

p^{2} + q^{2} + 1 ≥ b · p · (q + 1).

c) Wyznaczyć najwi_{}eksz _{}a liczb_{}e rzeczywist _{}a c tak _{}a, że dla wszystkich liczb całkowitych p, q zachodzi nierówność

p^{2} + q^{2} + 1 ≥ c · p · (q + 1).

8. Niech n b_{}edzie liczb _{}a naturaln _{}a i niech M b_{}edzie zbiorem n-elementowym. Wyznaczyć najwi_{}eksz _{}a liczb_{}e naturaln _{}a k o nast_{}epuj_{}ecej własności:

Istnieje k-elementowa rodzina K trójelementowych podzbiorów zbioru M taka, że każde dwa zbiory należ _{}ace do K maj _{}a niepuste przeci_{}ecie.

9. Dany jest równoległościan P. Niech V_{P} bdzie jego obj_{}etości _{}a, S_{P} polem jego powierzchni, a L_{P} sum _{}a długości jego kraw_{}edzi. Dla liczby rzeczywistej t ≥ 0 niech P_{t} b_{}edzie brył _{}a złożon _{}a ze wszystkich punktów X, których odległość od P jest nie wi_{}eksza od t. Udowodnić, że obj_{}etość bryły P_{t} wyraża si_{}e wzorem

V (P_{t}) = V_{P} + S_{P} · t + \frac{π}{4} · L_{p} · t^{2} + \frac{4}{3} · π · t^{3}.

Wyjaśnienie: Odległość punktu X od równoległościanu P jest nie wi_{}eksza od t, jeśli istnieje punkt Y należ _{}acy do równoległościanu taki, że |XY | ≤ t.