XXI Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne

Przysiek (Polska), 29 czerwca – 1 lipca 1998

Zawody indywidualne, I dzień (29.06.1998)

1. Niech x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} będą takimi liczbami rzeczywistymi, że x_{1}^{2} + x_{2}^{2} 1 . Udowodnić nierówność

(x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} − 1)^{2} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} − 1)(y_{1}^{2} + y_{2}^{2} − 1) .

2. Rozważamy n punktów P_{1}, P_{2}, …, P_{n} położonych w tej kolejności na jednej linii prostej. Malujemy każdy z tych n punktów na jeden z następujących kolorów: biały, czerwony, zielony, niebieski, fioletowy. Kolorowanie nazwiemy dopuszczalnym, jeśli dla dowolnych dwóch kolejnych punktów P_{i}, P_{i+1} (i = 1, 2, …, n− 1) oba są tego samego koloru lub co najmniej jeden z nich jest biały. Ile jest dopuszczalnych kolorowań?

3. Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych (x, y) spełniające następujący układ równań:

\begin{cases}2 − x^{3} & = & y \\ 2 − y^{3} & = & x . \end{cases}

Zawody indywidualne, II dzień (30.06.1998)

4. Niech m, n będą danymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Niech

S_{m}(n) = ∑_{k=1}^{n} [^{k^{2}} \sqrt{k^{m}} ]

([x] jest największą liczbą całkowitą nie większą od x). Udowodnić, że

S_{m}(n) n + m·( ^{4} \sqrt{2^{m}} − 1) .

5. Wyznaczyć wszystkie pary (a, b) liczb całkowitych dodatnich takich, że równanie x^{3} −17x^{2} +ax−b^{2} = 0 ma trzy pierwiastki całkowite (niekoniecznie różne).

6. Różne punkty A, B, C, D, E, F są położone na okręgu k w tej kolejności. Proste styczne do okręgu k w punktach A i D oraz proste BF i CE przecinają się w jednym punkcie P. Udowodnić, że proste AD, BC i EF są równoległe lub przecinają się w jednym punkcie.

Zawody zespołowe (1.07.1998)

7. Rozważamy pary (a, b) liczb naturalnych takich, że iloczyn a^{a}·b^{b} w zapisie dziesiętnym kończy się dokładnie 98 zerami. Wyznaczyć parę (a, b) o tej własności, dla której iloczyn ab jest najmniejszy.

8. Niech n > 2 będzie daną liczbą naturalną. Rozważamy siatkę kwadratową na płaszczyźnie. W każdym kwadracie jednostkowym siatki wpisana jest liczba naturalna. Wielokąty o polu równym n, których boki są zawarte w prostych tworzących siatkę, nazwiemy wielokątami dopuszczalnymi. Wartością wielokąta dopuszczalnego nazwiemy sumę wszystkich liczb wpisanych w kwadraty zawarte w tym wielokącie. Udowodnić, że jeśli wartości dowolnych dwóch przystających wielokątów dopuszczalnych są równe, to wszystkie liczby wpisane w kwadraty siatki są równe.

Uwaga. Przypominamy, że obraz symetryczny Q wielokąta P jest wielokątem przystającym do P.

9. Niech K, L, M będą środkami boków BC, AC, AB trójkąta ABC. Punkty A, B, C dzielą okrąg opisany na trójkącie ABC na trzy łuki: AB, BC, CA. Niech X będzie takim punktem łuku BC, że BX = XC. Analogicznie, niech Y będzie takim punktem łuku AC, że AY = Y C, zaś Z takim punktem łuku AB, że AZ = ZB. Niech R będzie promieniem okręgu opisanego na trójkącie ABC i niech r będzie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Udowodnić, że r + KX + LY + MZ = 2R .