XXII Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne

Zadanie 1.

Niech n b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a i niech M = {1, ..., n}. Wyznacz liczb_{}e uporz _{}adkowanych szóstek zbiorów (A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}) spełniaj _{}acych nast_{}epuj _{}ace dwa warunki:

(a) zbiory A_{1}, ..., A_{6} s _{}a (niekoniecznie różnymi) podzbiorami zbioru M;

(b) każdy element zbioru M albo nie należy do żadnego, albo należy do dokładnie trzech, albo należy do wszystkich sześciu zbiorów spośród A_{1}, ..., A_{6}.

Zadanie 2.

Wyznacz najwi_{}eksz _{}a liczb_{}e rzeczywist _{}a C_{1} i najmniejsz _{}a liczb_{}e rzeczywist _{}a C_{2} takie, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c, d, e zachodz _{}a nast_{}epuj _{}ace nierówności

C_{1} < \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + d} + \frac{d}{d + e} + \frac{e}{e + a} < C_{2}

Zadanie 3.

Dana jest liczba naturalna n ≥ 2. Wyznacz wszystkie układy n funkcji (f_{1}, ..., f_{n}), gdzie f_{i} : ℝ → ℝ dla każdego i = 1, ..., n, takie że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y spełnione s _{}a nast_{}epuj _{}ace równania: f_{1}(x) − f_{2}(x)f_{2}(y) + f_{1}(y) = 0 f_{2}(x^{2}) − f_{3}(x)f_{3}(y) + f_{2}(y^{2}) = 0 ... f_{k}(x^{k}) − f_{k+1}(x)f_{k+1}(y) + f_{k}(y^{k}) = 0 ... f_{n}(x^{n}) − f_{1}(x)f_{1}(y) + f_{n}(y^{n}) = 0.

Zadanie 4.

Dany jest trójk _{}at ABC. Przez punkt P leż _{}acy wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC prowadzimy trzy proste k, l, m w taki sposób, że:

(a) prosta k przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach A_{1} i A_{2} (A_{1} ≠ A_{2}) takich, że P A_{1} = P A_{2};

(b) analogicznie prosta l przecina proste BC i BA odpowiednio w punktach B_{1} i B_{2} (B_{1} ≠ B_{2}) takich, że P B_{1} = P B_{2};

(c) analogicznie prosta m przecina proste CA i CB odpowiednio w punktach C_{1} i C_{2} (C_{1} ≠ C_{2}) takich, że P C_{1} = P C_{2}. Udowodnij, że proste k, l, m s _{}a przez te warunki wyznaczone jednoznacznie. Wyznacz punkt P (i udowodnij, że jest tylko jeden taki punkt), dla którego trójk _{}aty AA_{1}A_{2}, BB_{1}B_{2}, CC_{1}C_{2} maj _{}a równe pola.

Zadanie 5.

Ci _{}ag liczb całkowitych (a_{n}) spełnia nast_{}epuj _{}ac _{}a zależność rekurencyjn _{}a:

a_{n+1} = a_{n}^{3} + 1999

dla n = 1, 2, ... . Udowodnij, że istnieje co najwyżej jedna wartość n, dla której a_{n} jest kwadratem liczby całkowitej.

Zadanie 6.

Rozwi _{}aż nast_{}epuj _{}acy układ równań x_{n}^{2} + x_{n}x_{n−1} + x_{n−1}^{4} = 1 (n = 1, 2, ..., 1999) x_{0} = x_{1999} w zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych.

Zadanie 7.

Wyznacz wszystkie pary (x, y) liczb całkowitych dodatnich takie, że

x^{x+y} = y^{y−x} .

Zadanie 8.

Dana jest prosta g i punkty P, Q, S leż _{}ace po tej samej stronie tej prostej. Punkty M i N leż _{}a na prostej g, przy czym P M ⊥ g i QN ⊥ g. Punkt S leży mi_{}edzy prostymi P M i QN. Ponadto P M = P S i QN = QS. Symetralne odcinków SM i SN przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Prosta RS przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie P QR w punkcie T różnym od R. Udowodnij, że punkt S jest środkiem odcinka RT.

Zadanie 9.

Punktem kratowym nazywamy punkt płaszczyzny maj _{}acy obie współrz_{}edne całkowite. Rozważamy nast_{}epuj _{}ac _{}a gr_{}e jednoosobow _{}a. Pozycja w grze składa si_{}e ze skończonego zbioru zaznaczonych punktów kratowych i ze skończonego zbioru odcinków spełniaj _{}acych nast_{}epuj _{}ace warunki:

(a) końce każdego zaznaczonego odcinka s _{}a zaznaczonymi punktami kratowymi;

(b) każdy zaznaczony odcinek jest równoległy do jednej osi układu współrz_{}ednych lub do jednej z dwóch prostych o równaniach y = x, y = −x;

(c) każdy zaznaczony odcinek zawiera dokładnie 5 punktów kratowych i każdy z tych punktów jest zaznaczony;

(d) dowolne dwa zaznaczone odcinki maj _{}a co najwyżej jeden punkt wspólny. Ruch w grze polega na zaznaczeniu nowego punktu kratowego, a nast_{}epnie zaznaczeniu odcinka w taki sposób, by powstała nowa pozycja w grze. Rozstrzygnij, czy istnieje pozycja pocz _{}atkowa w grze, taka że możliwe jest wykonanie nieskończonego ci _{}agu ruchów.