IX Drużynowe Zawody Matematyczne “Baltic Way ’98” Warszawa, 8 listopada 1998

1. Znaleźć wszystkie funkcje dwóch zmiennych f, których argumenty x, y i wartości f(x, y) są liczbami całkowitymi dodatnimi, spełniające następujące warunki (dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych x i y):

\begin{aligned}f(x, x) & = & x, \\ f(x, y) & = & f(y, x), \\ (x + y)f(x, y) & = & yf(x, x+ y). \end{aligned}

2. Trójkę liczb całkowitych dodatnich (a, b, c) nazywamy quasi-pitagorejską, jeśli istnieje trójkąt o bokach długości a, b, c, w którym miara kąta naprzeciwko boku c wynosi 120^{∘}. Udowodnić, że jeśli (a, b, c) jest trójką quasi-pitagorejską, to c ma dzielnik pierwszy większy od 5.

3. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich x, y, które spełniają równanie

2x^{2} + 5y^{2} = 11(xy − 11) .

4. Niech P będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Załóżmy, że dla n = 1, 2, …, 1998 wartości P (n) są liczbami naturalnymi trzycyfrowymi. Udowodnić, że wielomian P nie ma pierwiastków całkowitych.

5. Niech a będzie cyfrą nieparzystą, zaś b cyfrą parzystą. Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n istnieje liczba całkowita dodatnia, podzielna przez 2^{n}, w której zapisie dziesiętnym nie występują cyfry inne niż a i b.

6. Niech P będzie wielomianem stopnia 6 oraz niech a, b będą liczbami rzeczywistymi takimi, że 0 < a < b. Załóżmy, że P (a) = P (−a), P (b) = P (−b), P′(0) = 0. Udowodnić, że P (x) = P (−x) dla wszystkich liczb rzeczywistych x.

7. Niech ℝ oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Znaleźć wszystkie funkcje f: ℝ → ℝ spełniające dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie f(x) + f(y) = f(f(x)f(y)).

8. Niech P_{k}(x) = 1 + x + x^{2} + ⋯+ x^{k−1} . Wykazać, że

∑_{k=1}^{n} \binom{n}{k} P_{k}(x) = 2^{n−1} P_{n}( \frac{1 + x}{2} )

dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby całkowitej dodatniej n.

9. Liczby α, β spełniają 0 < α < β < π/2. Niech γ, δ będą liczbami określonymi przez warunki:

(i) 0 < γ < π/2 oraz liczba tgγ jest średnią arytmetyczną liczb tgα i tgβ;

(ii) 0 < δ < π/2 oraz liczba \frac{1}{cosδ} jest średnią arytmetyczną liczb \frac{1}{cosα} i \frac{1}{cosβ}.

Udowodnić, że γ < δ.

10. Niech n ≥ 4 będzie parzystą liczbą całkowitą. W okrąg o promieniu 1 wpisane są n-kąt foremny i (n− 1)-kąt foremny. Dla każdego wierzchołka n-kąta rozważmy odległość od tego wierzchołka do najbliższego wierzchołka (n− 1)-kąta, mierzoną po obwodzie okręgu. Niech S będzie sumą tych n odległości. Udowodnić, że S nie zależy od wzajemnego położenia tych dwóch wielokątów.

11. Niech a, b, c będą długościami boków pewnego trójkąta, zaś R — promieniem okręgu opisanego na nim. Udowodnić, że

R ≥ \frac{a^{2} + b^{2}}{2 \sqrt{2a^{2} + 2b^{2} − c^{2}}} .

Kiedy zachodzi równość?

12. W trójkącie ABC zachodzi ^{}B̸AC = 90^{∘}. Punkt D leży na boku BC i ^{}B̸DA = 2^{}B̸AD. Udowodnić, że

\frac{1}{AD} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{BD} + \frac{1}{CD}) .

13. W pięciokącie wypukłym ABCDE boki AE i BC są równoległe oraz^{}A̸DE = ^{}B̸DC. Przekątne AC i BE przecinają się w punkcie P. Dowieść, że ^{}E̸AD = ^{}B̸DP i ^{}C̸BD = ^{}A̸DP.

14. Dany jest trójkąt ABC, w którym AB < AC. Prosta przechodząca przez B i równoległa do AC przecina dwusieczną kąta zewnętrznego ^{}B̸AC w punkcie D. Prosta przechodząca przez C i równoległa do AB przecina tę dwusieczną w punkcie E. Punkt F leży na boku AC i spełniona jest równość F C = AB. Udowodnić, że DF = F E.

15. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Punkt D jest spodkiem wysokosci opuszczonej z wierzchołka A na bok BC. Punkt E leży na odcinku AD i spełnione jest równanie

\frac{AE}{ED} = \frac{CD}{DB}.

Punkt F jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka D na bok BE. Udowodnić, że A̸F C = 90^{∘}.

16. Czy można pokryć szachownicę o wymiarach 13×13 czterdziestoma dwoma klockami o wymiarach 4 × 1 w taki sposób, że tylko środkowe pole szachownicy pozostanie nie zakryte ? (Zakładamy, że każdy klocek zakrywa cztery pełne pola szachownicy.)

17. Niech n i k będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Danych jest nk przedmiotów (tych samych rozmiarów) i k pudełek, z których każde pomieści n przedmiotów. Każdy przedmiot jest pokolorowany jednym z k różnych kolorów. Wykazać, że można rozmieścić te przedmioty w pudełkach w taki sposób, że w każdym pudełku znajdą się przedmioty w co najwyżej dwóch kolorach.

18. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie n, dla których istnieje zbiór S o następujących własnościach:

(i) S składa się z n liczb całkowitych dodatnich, z których wszystkie są mniejsze od 2^{n−1} ; (ii) dla dowolnych dwóch różnych niepustych podzbiorów A i B zbioru S suma elementów zbioru

A jest różna od sumy elementów zbioru B.

19. Rozważmy mecz ping-ponga między dwiema drużynami, z których każda składa się z 1000 graczy. Każdy gracz grał przeciwko każdemu z graczy przeciwnej drużyny dokładnie raz (w pingpongu nie ma remisów). Udowodnić, że istnieje dziesięciu graczy z jednej drużyny, takich że każdy z graczy drużyny przeciwnej przegrał z co najmniej jednym z tych dziesięciu graczy.

20. Powiemy, że liczba całkowita dodatnia m pokrywa liczbę 1998, jeśli 1, 9, 9, 8 pojawiają się w tej właśnie kolejności jako cyfry m. (Na przykład 1998 jest pokrywana przez 215993698, ale nie przez 213326798.) Niech k(n) oznacza liczbę tych liczb całkowitych dodatnich, które pokrywają 1998 i mają dokładnie n cyfr (n ≥ 5), z których wszystkie są różne od 0. Jaką resztę z dzielenia przez 8 daje k(n)?