Zadania na Zawody Zespołowe Baltic Way 1997

Kopenhaga, 9 listopada 1997 r. godz. 10.00 4\frac{1}{2} godziny. 5 punktów za zadanie.

1. Wyznaczyć wszystkie funkcje f ze zbioru liczb rzeczywistych do zbioru liczb rzeczywistych, różne od funkcji zerowej takie, że f(x)f(y) = f(x − y) dla wszystkich liczb rzeczywistych x i y.

2. Dany jest cia_{}g a_{1}, a_{2}, a_{3}, … liczb całkowitych dodatnich, w którym każda liczba całkowita dodatnia wyste_{}puje dokładnie raz. Dowieść, że istnieja_{}liczby całkowite ℓ i m, 1 < ℓ < m takie, że a_{1} + a_{m} = 2a_{ℓ}.

3. Niech x_{1} = 1 oraz x_{n+1} = x_{n} + ⌊\frac{x_{n}}{n} ⌋ + 2 dla n = 1, 2, 3, …, gdzie ⌊x⌋ oznacza najwie_{}ksza_{}liczbe_{} całkowita_{}nie wie_{}ksza_{}niż x. Wyznaczyć x_{1997}.

4. Dowieść, że dla średniej arytmetycznej a liczb x_{1}, …, x_{n} spełniona jest nierówność

(x_{1} − a)^{2} + ⋯ + (x_{n} − a)^{2} ≤ \frac{1}{2}(|x_{1} − a| + ⋯ + |x_{n} − a|)^{2} .

5. W cia_{}gu u_{0}, u_{1}, … liczb całkowitych dodatnich u_{0} jest dowolne. Dla każdej liczby całkowitej n,

u_{n+1} = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2}u_{n} & dla parzystych u_{n}, \\ a + u_{n} & dla nieparzystych u_{n}, \end{matrix}

gdzie a jest ustalona_{}liczba_{}całkowita_{}dodatnia_{}nieparzysta_{}. Dowieść, że cia_{}g ten od pewnego miejsca jest okresowy.

6. Znaleźć wszystkie trójki (a, b, c) liczb całkowitych nieujemnych takich, że a ≥ b ≥ c oraz 1·a^{3} + 9·b^{2} + 9·c + 7 = 1997.

7. Niech P i Q be_{}da_{}wielomianami o współczynnikach całkowitych. Przypuśćmy, że liczby całkowite a i a + 1997 sa_{}pierwiastkami P oraz Q(1998) = 2000. Dowieść, że równanie Q(P (x)) = 1 nie ma rozwia_{}zań w liczbach całkowitych.

8. Gdy dodajemy liczby 1996 i 1997, to najpierw dodajemy cyfry jedności 6 i 7. Otrzymujemy 13, zapisujemy 3 i ,,przenosimy” 1 do naste_{}pnej kolumny. W ten sposób wykonujemy przeniesienie. Kontynuuja_{}c, wykonamy ła_{}cznie trzy przeniesienia:

1 1 1 1 9 9 6 + 1 9 9 7 3 9 9 3

Czy istnieje taka liczba całkowita dodatnia k, że przy dodawaniu 1996·k do 1997·k nie be_{}dzie ani jednego przeniesienia?

9. Na Sferze Światów światy sa_{}ponumerowane 1, 2, 3, … i poła_{}czone tak, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, czarodziej Gandalf może poruszać sie_{}w obu kierunkach pomie_{}dzy światami o numerach n, 2n i 3n + 1. Czy zaczynaja_{}c od dowolnego świata Gandalf może dotrzeć do każdego innego świata?

10. Dowieść, że w dowolnym cia_{}gu 79 kolejnych liczb całkowitych dodatnich, zapisanych w systemie dziesie_{}tnym, istnieje liczba całkowita dodatnia, której suma cyfr jest podzielna przez 13.

11.

Na dwóch równoległych prostych, wybrano odpowiednio różne punkty A_{1}, A_{2}, A_{3}, … oraz B_{1}, B_{2}, B_{3}, … w ten sposób, że |A_{i}A_{i+1}| = 1 i |B_{i}B_{i+1}| = 2 dla i = 1, 2, … (patrz rysunek). Wiedza_{}c, że ^{}A̸_{1}A_{2}B_{1} = α, obliczyć wartość nieskończonej sumy

A̸_{1}B_{1}A_{2} +^{}A̸_{2}B_{2}A_{3} +^{}A̸_{3}B_{3}A_{4} + · · · .

[figure: A_{1}; A_{2}; A_{3}; A_{4}; A_{5}; A_{6}; B_{1}; B_{2}; B_{3}; B_{4}; B_{5}]

12. Dwa okre_{}gi C_{1} i C_{2} przecinaja_{}sie_{}w punktach P i Q. Prosta przechodza_{}ca przez P przecina ponownie C_{1} i C_{2} odpowiednio w punktach A i B. Punkt X jest środkiem odcinka AB. Prosta przechodza_{}ca przez Q i X przecina ponownie C_{1} i C_{2} odpowiednio w punktach Y i Z. Udowodnić, że X jest środkiem odcinka Y Z.

13.

Pie_{}ć różnych punktów A, B, C, D i E leży na prostej, przy czym |AB| = |BC| = |CD| = |DE|. Punkt F nie leży na tej prostej. Punkt G jest środkiem okre_{}gu opisanego na trójka_{}cie ADF, zaś H jest środkiem okre_{}gu opisanego na trójka_{}cie BEF. Dowieść, że proste GH i F C sa_{} prostopadłe.

A B C D E F

14. Dany jest trójka_{}t ABC, w którym |AC|^{2} jest średnia_{}arytmetyczna_{}liczb |BC|^{2} i |AB|^{2}. Udowodnić, że ctg^{2}B ≥ ctg A · ctg C.

15. W trójka_{}cie ostroka_{}tnym ABC, dwusieczne ka_{}tów ^{}A̸, ^{}B̸ i ^{}C̸ przecinaja_{}okra_{}g opisany odpowiednio w punktach A_{1}, B_{1} i C_{1}. Niech M be_{}dzie punktem przecie_{}cia prostych AB i B_{1}C_{1}, a N punktem przecie_{}cia prostych BC i A_{1}B_{1}. Dowieść, że MN przechodzi przez środek okre_{}gu wpisanego w △ABC.

16. Dwaj gracze graja_{}na szachownicy 5 × 5 w naste_{}puja_{}ca_{}gre_{}. Pierwszy gracz stawia skoczka na wybranym polu. Naste_{}pnie gracze naprzemian (zaczynaja_{}c od gracza drugiego) przesuwaja_{} skoczka według reguł szachowych. Nie wolno przesuna_{}ć skoczka na pole, na którym już był. Przegrywa gracz, który nie może wykonać ruchu. Który z dwóch graczy ma strategie_{}wygrywaja_{}ca_{}?

17. Prostoka_{}t można podzielić na n równych kwadratów. Ten sam prostoka_{}t można również podzielić na n + 76 równych kwadratów. Wyznaczyć n.

18. (i) Udowodnić, że istnieja_{}dwa nieskończone zbiory liczb całkowitych nieujemnych A i B, niekoniecznie rozła_{}czne takie, że każda_{}liczbe_{}całkowita_{}nieujemna_{}n można jednoznacznie przedstawić w postaci n = a + b, gdzie a ∈ A, b ∈ B. (ii) Udowodnić, że dla każdej takiej pary (A, B), zbiór A lub B zawiera tylko wielokrotności pewnej liczby całkowitej k > 1.

19. W puszczy każde z n zwierza_{}t (n ≥ 3) mieszka w swojej grocie. Przed wyborami Króla Puszczy niektóre zwierze_{}ta organizuja_{}kampanie_{}wyborcza_{}. Każde zwierze_{}organizuja_{}ce kampanie_{}odwiedza każda_{}z pozostałych grot dokładnie raz. Porusza sie_{}przy tym tylko po ścieżkach prowadza_{}cych od groty do groty, nie przechodzi przy tym z jednej ścieżki na inna_{}pomie_{}dzy grotami i wraca do swojej własnej groty na końcu kampanii. Przez żadna_{}ścieżke_{}ła_{}cza_{}ca_{}dwie groty nie przechodzi wie_{}cej niż jedno zwierze_{}organizuja_{}ce kampanie_{}.

a) Udowodnić, że dla każdej liczby pierwszej n, maksymalna możliwa liczba zwierza_{}t organizuja_{}cych kampanie_{}równa sie_{}\frac{n−1}{2};

b) Wyznaczyć maksymalna_{}liczbe_{}zwierza_{}t organizuja_{}cych kampanie_{}dla n = 9.

20. W rze_{}dzie leży dwanaście kart. Karty sa_{}trzech rodzajów: maja_{}obie strony białe, obie strony czarne lub jedna_{}biała_{}i jedna_{}czarna_{}strone_{}. Pocza_{}tkowo dziewie_{}ć z tych kart leży czarna_{}strona_{} do góry. Naste_{}pnie odwracamy karty 1–6, po czym cztery karty leża_{}czarna_{}strona_{}do góry. Potem odwracamy karty 4–9, w rezultacie czego sześć kart leży czarna_{}strona_{}do góry. W końcu odwracamy karty 1–3 i 10–12, po czym pie_{}ć kart leży czarna_{}strona_{}do góry. Ile jest kart każdego rodzaju?