Zadania z XI Zawodów Matematycznych Państw Bałtyckich Oslo (Norwegia), 4 listopada 2000 r.

1. Niech K będzie punktem leżącym wewnątrz trójkąta ABC. Niech M i N będą takimi punktami, że M i K leżą po przeciwnych stronach prostej AB, oraz N i K leżą po przeciwnych stronach prostej BC. Załóżmy, że < ) MAB = < ) MBA = < ) NBC = < ) NCB = < ) KAC = < ) KCA. Udowodnić, że MBNK jest równoległobokiem.

2. Dany jest trójkąt równoramienny ABC o kącie < ) A = 90^{∘}. Niech M będzie środkiem boku AB. Prosta przechodząca przez punkt A i prostopadła do prostej CM przecina bok BC w punkcie P. Dowieść, że

< ) AMC = < ) BMP.

3. Dany jest trójkąt ABC, w którym < ) A = 90^{∘} oraz AB ≠ AC. Punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB, w taki sposób, że AF DE jest kwadratem. Wykazać, że prosta BC, prosta F E oraz styczna w punkcie A do okręgu opisanego na trójkącie ABC przecinają się w jednym punkcie.

4. Dany jest trójkąt ABC, w którym < ) A = 120^{∘}. Punkty K i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC. Niech BKP i CLQ będą trójkątami równobocznymi zbudowanymi na zewnątrz trójkąta ABC. Udowodnić, że P Q \frac{\sqrt{3}}{2}(AB +AC).

5. Niech ABC będzie takim trójkątem, że

\frac{BC}{AB −BC} = \frac{AB +BC}{AC} .

Wyznaczyć iloraz < ) A: < ) C.

6. Fredek prowadzi pensjonat. Twierdzi on, że za każdym razem gdy jego pensjonat odwiedza n 3 gości, potrafi wskazać takich dwóch, którzy wśród pozostałych gości mają taką samą liczbę znajomych oraz wspólnego znajomego lub wspólnego nieznajomego. Dla jakich wartości n Fredek ma rację?

7. Tablica kontrolna o wymiarach 40×50 składa się 2000 guzików, z których każdy jest w pozycji: włączony lub wyłączony. Naciśnięcie guzika powoduje zmianę jego pozycji oraz pozycji wszystkich guzików w tej samej kolumnie i w tym samym wierszu. Wykazać, że przyciskając guziki można tablicę z początkowo wyłączonymi guzikami doprowadzić do tablicy, w której wszystkie guziki są włączone. Wyznaczyć najmniejszą potrzebną do tego liczbę naciśnięć.

8. Na przyjęciu spotkało się czternastu kolegów. Jeden z nich, Fredek, chciał wcześniej położyć się spać. Pożegnał się więc z 10 kolegami, zapominając o trzech pozostałych i poszedł spać. Po chwili wrócił na przyjęcie, pożegnał się z 10 kolegami (niekoniecznie tymi samymi co poprzednio) i poszedł spać. Fredek powracał jeszcze wielokrotnie i za każdym razem żegnał się z 10 kolegami, po czym szedł spać. Kiedy tylko pożegnał się z każdym ze swoich kolegów co najmniej raz, to już nie wrócił. Rano Fredek uświadomił sobie, że z każdym z trzynastu kolegów pożegnał się inną liczbę razy. Ile co najmniej razy powracał Fredek?

9. Po szachownicy 2k ×2k złożonej z jednostkowych kwadratów skacze żaba. Skoki żaby są długości \sqrt{1+k^{2}} i przenoszą ją ze środka jednego kwadratu do środka innego kwadratu. Pewnych m kwadratów szachownicy zaznaczono krzyżykiem. Wszystkie kwadraty, do których może skoczyć żaba z pól oznaczonych krzyżykiem oznaczono kółkiem (nawet jeśli na którymś z tych pól jest już krzyżyk). Kółkiem oznaczono n kwadratów. Dowieść, że n m.

10. Na tablicy napisano dwie liczby całkowite dodatnie. Początkowo, jedna z nich jest równa 2000, a druga jest mniejsza niż 2000. Jeśli średnia arytmetyczna m dwóch liczb napisanych na tablicy jest liczbą całkowitą, możemy wykonać następującą procedurę: ścieramy jedną z liczb zastępując ją przez m. Dowieść, że ta procedura nie może być wykonana więcej niż dziesięć razy. Podać przykład, w którym powyższa procedura jest wykonywana dziesięć razy.

11. Dany jest taki ciąg liczb całkowitych dodatnich a_{1},a_{2},..., że dla dowolnych m i n zachodzi: jeśli m jest dzielnikiem liczby n oraz m < n, to a_{m} jest dzielnikiem liczby a_{n} oraz a_{m} < a_{n}. Znaleźć najmniejszą możliwą wartość liczby a_{2000}.

12. Niech x_{1},x_{2},...,x_{n} będą takimi liczbami całkowitymi dodatnimi, że żadna z nich nie jest początkowym fragmentem żadnej innej (na przykład 12 jest początkowym fragmentem liczb \underline{12}, \underline{12}5 oraz \underline{12}405). Dowieść, że

\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} +...+ \frac{1}{x_{n}} < 3.

13. Niech a_{1},a_{2},...,a_{n} będzie takim ciągiem arytmetycznym liczb całkowitych, że i | a_{i} dla i = 1,2,...,n− 1 oraz n |̸ a_{n}. Udowodnić, że n jest potęgą liczby pierwszej.

14. Znaleźć wszystkie takie dodatnie liczby całkowite n, że n równa się liczbie dodatnich dzielników liczby n pomnożonej przez 100.

15. Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą niepodzielną ani przez 2, ani przez 3. Wykazać, że dla wszystkich liczb całkowitych k liczba

(k +1)^{n} −k^{n} −1

jest podzielna przez k^{2}+k +1.

16. Udowodnić, że dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność

\sqrt{a^{2}−ab+b^{2}} +\sqrt{b^{2}−bc+c^{2}} \sqrt{a^{2}+ac+c^{2}} .

17. Znaleźć wszystkie rozwiązania w liczbach rzeczywistych następującego układu równań:

\{ \begin{matrix}x & + & y & + & z & + & t & = & 5 \\ xy & + & yz & + & zt & + & tx & = & 4 \\ xyz & + & yzt & + & ztx & + & txy & = & 3 \\ xyzt & & & & & & & = & −1. \end{matrix}

18. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste x i y spełniające równanie

x+y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} +4 = 2·(\sqrt{2x+1} +\sqrt{2y +1} ).

19. Niech t \frac{1}{2} będzie liczbą rzeczywistą, a n dodatnią liczbą całkowitą. Dowieść, że t^{2n} (t−1)^{2n} +(2t−1)^{n}.

20. Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n, niech

x_{n} = \frac{(2n+1)(2n+3)·...·(4n−1)(4n+1)}{(2n)(2n+2)·...·(4n−2)(4n)} .

Dowieść, że

\frac{1}{4n} < x_{n} −\sqrt{2}< \frac{2}{n} .