XII Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich Hamburg (Niemcy), 4 listopada 2001

1. Na egzamin przygotowano 8 pytań. Każdy uczeń otrzymał 3 z nich. Żadnych dwóch uczniów nie otrzymało więcej niż jedno wspólne pytanie. Jaka największa możliwa liczba uczniów wzięła udział w egzaminie?

2. Niech n 2 będzie liczbą całkowitą dodatnią. Rozstrzygnąć, czy istnieje n takich niepustych parami rozłącznych podzbiorów zbioru {1,2,3,...}, że każdą dodatnią liczbę całkowitą można w jednoznaczny sposób przedstawić w postaci sumy co najwyżej n liczb, każdej z innego podzbioru.

3. Liczby 1,2,...,49 rozmieszczono w tablicy 7×7, po czym obliczono sumę liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie. Niektóre z tych 14 sum są nieparzyste, a pozostałe są parzyste. Niech A oznacza sumę wszystkich nieparzystych sum, a B sumę wszystkich parzystych sum. Czy jest możliwe takie rozmieszczenie liczb, że A = B?

4. Niech p i q będą dwiema różnymi liczbami pierwszymi. Dowieść, że

⌊ \frac{p}{q}⌋+⌊ \frac{2p}{q}⌋+⌊ \frac{3p}{q}⌋+··· +⌊ \frac{(q −1)p}{q} ⌋ = \frac{1}{2}(p−1)(q −1).

(⌊x⌋ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż x.)

5. Każdy spośród danych 2001 punktów na okręgu pokolorowano na czerwono albo na zielono. W jednym kroku wszystkie punkty są jednocześnie przekolorowywane w następujący sposób: jeśli oba punkty bezpośrednio sąsiadujące z punktem P mają ten sam kolor co punkt P, to punkt P nie zmienia koloru, w przeciwnym razie punkt P zmienia kolor. Rozpoczynając od pokolorowania F_{1} otrzymujemy kolejno pokolorowania F_{2},F_{3},... . Udowodnić, że istnieje taka liczba n_{0} 1000, że F_{n_{0}} = F_{n_{0}+2} . Czy to stwierdzenie jest prawdziwe, jeśli liczbę 1000 zastąpimy przez 999?

6. Punkty A, B, C, D, E leżą w tej właśnie kolejności na okręgu c i spełniają AB ∥ EC oraz AC ∥ ED. Prosta styczna do okręgu c w punkcie E przecina prostą AB w punkcie P. Proste BD i EC przecinają się w punkcie Q. Udowodnić, że AC = P Q.

7. Dany jest równoległobok ABCD. Okrąg przechodzący przez punkt A przecina odcinki AB, AC i AD odpowiednio w punktach M, K i N, różnych od A. Dowieść, że AB ·AM +AD ·AN = AK ·AC.

8. Niech ABCD będzie czworokątem wypukłym i niech N będzie środkiem boku BC. Ponadto załóżmy, że < ) AND = 135^{∘}. Dowieść, że

AB +CD + \frac{BC}{\sqrt{2}} AD.

9. Dany jest romb ABCD. Znaleźć zbiór takich punktów P, które leżą wewnątrz rombu i spełniają warunek < ) AP D +< ) BP C = 180^{∘}.

10. W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie D. Wiedząc, że BD ·CD = AD^{2} oraz < ) ADB = 45^{∘}, wyznaczyć miary kątów trójkąta ABC.

11. Funkcja f o wartościach rzeczywistych jest określona na zbiorze wszystkich liczb całkowitych dodatnich. Dla dowolnych liczb całkowitych a > 1, b > 1 oraz d = NWD(a,b) zachodzi równość

f(ab) = f(d)( f ( \frac{a}{d}) +f ( \frac{b}{d}) ) .

Wyznaczyć wszystkie możliwe wartości f(2001).

12. Niech a_{1},a_{2},...,a_{n} będą takimi dodatnimi liczbami rzeczywistymi, że

∑_{i=1}^{n} a_{i}^{3} = 3 oraz ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{5} = 5.

Dowieść, że ∑_{i=1}^{n} a_{i} > 3/2.

13. Niech a_{0},a_{1},a_{2},... będzie ciągiem liczb rzeczywistych spełniającym warunki

a_{0} = 1 oraz a_{n} = a_{⌊7n/9⌋} +a_{⌊n/9⌋}

dla n = 1,2,.... Dowieść, że istnieje taka liczba całkowita dodatnia k, że

a_{k} < \frac{k}{2001!}.

(⌊x⌋ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż x.)

14. Danych jest 2n kart. Na każdej karcie napisano pewną liczbę rzeczywistą x, przy czym 1 x 2 (na różnych kartach mogą być różne liczby). Udowodnić, że można tak rozdzielić karty na dwa stosy o sumach odpowiednio s_{1} i s_{2}, że

\frac{n}{n+1} \frac{s_{1}}{s_{2}} 1.

15. Niech a_{0},a_{1},a_{2},... będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych spełniającym warunek

i·a_{i}^{2} (i+1)·a_{i−1} a_{i+1} dla i = 1,2,....

Ponadto niech x i y będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz określmy b_{i} = xa_{i} +ya_{i−1} dla i = 1,2,.... Dowieść, że nierówność i·b_{i}^{2} > (i+1)·b_{i−1} b_{i+1} zachodzi dla wszystkich liczb całkowitych i 2.

16. Niech f będzie funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na zbiorze liczb całkowitych dodatnich spełniającą następujący warunek: dla wszystkich n > 1 istnieje taki dzielnik pierwszy p liczby n, że f(n) = f(n/p)−f(p). Wiedząc, że f(2001) = 1, wyznaczyć f(2002).

17. Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dowieść, że można wybrać co najmniej 2^{n−1} +n takich liczb ze zbioru {1,2,3,...,2^{n}}, że dla dowolnych wybranych dwóch różnych liczb x i y, x+y nie dzieli x·y.

18. Niech a będzie liczbą nieparzystą. Udowodnić, że liczby a^{2^{n}} +2^{2^{n}} oraz a^{2^{m}} +2^{2^{m}} są względnie pierwsze dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych n i m, przy czym n ≠ m.

19. Jaka jest najmniejsza dodatnia liczba nieparzysta mająca tyle samo dodatnich dzielników co 360?

20. Z ciągu (a,b,c,d) liczb całkowitych możemy uzyskać w jednym kroku jeden z ciągów

(c,d,a,b), (b,a,d,c), (a+nc,b+nd,c,d), (a+nb,b,c+nd,d)

dla dowolnej liczby całkowitej n, przy czym liczba n może być w każdym kroku inna. Czy można otrzymać ciąg (3,4,5,7) z ciągu (1,2,3,4) przy pomocy pewnej liczby kroków?