Obóz przygotowawczy do zawodów mi_{}edzynarodowych Zwardoń, 24.05.1993 — 3.06.1993.

1. Na okr _{}agłym stole o promieniu 1, w odległości r od środka położono piłeczk_{}e (0 < r < 1). Na ile sposobów można jej nadać taki zwrot, aby po trzykrotnym odbiciu, nie przechodz _{}ac przez środek, piłeczka przeszła przez położenie pocz _{}atkowe?

2. Dla jakich liczb naturalnych n, równanie x^{2} + xy + y^{2} = 7^{n} ma rozwi _{}azania w liczbach naturalnych niepodzielnych przez 7 ?

3. Dane s _{}a liczby rzeczywiste 1 = a_{1} ⩽ a_{2} ⩽ … ⩽ a_{1993} = 1993. Pokazać, że

∑_{k=1}^{1992} \frac{a_{k+1} − a_{k}}{1 + a_{k}^{2}} ⩾ \frac{3}{4}.

4. Ci _{}ag (a_{n}) określony jest nast_{}epuj _{}aco:

a_{1} = 0, a_{2} = \frac{1}{2}, a_{2n+1} = \frac{a_{2n} + a_{2n−1}}{2} , a_{2n+2} = \sqrt{a_{2n+1} · a_{2n}}, dla n ⩾ 1 .

Wykazać, że istnieje granica ci _{}agu (a_{n}) i znaleźć jej wartość.

5. Niech n ⩾ 3 i k ≠ 0 b_{}ed _{}a liczbami całkowitymi oraz niech W (x) = ∑_{r=0}^{n} (rk + 1)x^{n−r}. Pokazać,

że W (x) nie ma pierwiastków całkowitych.

6. Dane s _{}a okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}ace si_{}e w punkcie P. Punkty A_{i} ∈ o_{1} i B_{i} ∈ o_{2}, gdzie i = 1, 2, s _{}a takie, że P należy do wn_{}etrza odcinka A_{i}B_{i}. Dowieść, że k _{}at mi_{}edzy prostymi A_{1}A_{2} i B_{1}B_{2} nie zależy od wyboru punktów A_{i}, B_{i}.

7. Liczby a_{k} (k = 1, 2, …, n) s _{}a z przedziału [0, 2], przy czym ∑_{k=1}^{n} a_{k} ⩾ n. Pokazać, że

(∑_{k=1}^{n} a_{k}^{4}) − n ⩽ 11((∑_{k=1}^{n} a_{k}^{2}) − n) .

8. Pokazać, że najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 1, 2, …, n jest nie mniejsza od 2^{n−1}.

9. W okr _{}ag wpisany jest czworok _{}at wypukły, którego przek _{}atne s _{}a prostopadłe. Udowodnić, że środki boków tego czworok _{}ata oraz rzuty prostopadłe punktu przeci_{}ecia przek _{}atnych na boki leż _{}a na jednym okr_{}egu i promień tego okr_{}egu zależy jedynie od położenia punktu przeci_{}ecia przek _{}atnych.

10. Wyznaczyć wszystkie funkcje f ze zbioru N_{0} = {0, 1, 2, …} w siebie takie, że f(1) > 0, f(m^{2} + n^{2}) = (f(m))^{2} + (f(n))^{2} dla dowolnych liczb całkowitych nieujemnych m, n.

11. Dany jest k _{}at o wierzchołku A i okr _{}ag weń wpisany oraz prosta p przechodz _{}aca przez A i nieprzecinaj _{}aca okr_{}egu. Rozpatrujemy zbiór wszystkich czworok _{}atów takich, że:

— s _{}a one opisane na danym okr_{}egu,

— jedna para przeciwległych boków zawiera si_{}e w ramionach k _{}ata,

— druga para przeciwległych boków przecina si_{}e na prostej p. Znaleźć miejsce geometryczne punktów przeci_{}ecia przek _{}atnych tych czworok _{}atów.

12. W pewnym kraju jest n miast, n ⩾ 4. Mi_{}edzy pewnymi z nich s _{}a drogi. Jaka jest minimalna liczba dróg, jeśli:

(a) dla dowolnych dwóch miast istnieje miasto z nimi poł _{}aczone;

(b) dla dowolnych niepoł _{}aczonych dwóch miast A i B istniej _{}a co najmniej dwa miasta C i D poł _{}aczone drog _{}a zarówno z A jak i B.

13. Znaleźć wszystkie funkcje f: R → R, które s _{}a nieskończenie wiele razy różniczkowalne oraz

spełniaj _{}a tożsamość:

2f(x + 1) = f(x) + f(2x).

14. Dany jest dowolny trójk _{}at ABC. Udowodnić nierówność:

\frac{r_{a}}{sin α} + \frac{r_{b}}{sin β} + \frac{r_{c}}{sin γ} ⩾ 2p.

15. Proste k_{1}, k_{2}, k_{3}, n przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Proste k′_{1}, k′_{2}, k′_{3} s _{}a obrazami odpowiednio prostych k_{1}, k_{2}, k_{3} w symetrii wzgl_{}edem prostej n. Punkty A_{1} ∈ k_{1}, A_{2} ∈ k_{2}, A_{3} ∈ k_{3} s _{}a różne od P. Niech prosta A_{i}A_{j} przecina prost _{}a k′_{l} w punkcie A′_{l}, gdzie {i, k, l} = {1, 2, 3}. Pokazać, że punkty A′_{1}, A′_{2}, A′_{3} s _{}a współliniowe.

16. (Zawody drużynowe) Wyznaczyć:

(a) min_{f_{i}: [0,1]→R} max_{0≤x_{i}≤1} |f_{1}(x_{1}) + f_{2}(x_{2}) + … + f_{n}(x_{n}) − x_{1}x_{2} … x_{n}| ,

(b) min_{f_{i}: [0,1]→R} max_{0≤x_{i}≤1} |f_{1}(x_{1})f_{2}(x_{2}) … f_{n}(x_{n}) − (x_{1} + x_{2} + … + x_{n})| .

17. (Zawody drużynowe) Znaleźć wszystkie czworok _{}aty wypukłe z całkowitymi długościami boków, które można wpisać w okr _{}ag i których pole jest równe obwodowi.

18. (Zawody drużynowe) Liczba \overline{a_{n}a_{n−1}...a_{0}} jest liczb _{}a pierwsz _{}a. Niech

f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}.

Dowieść, że f(x) nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia niższego o współczynnikach całkowitych.

19. Udowodnić, że liczba [\frac{(m − 1)!}{m}] jest parzysta dla m > 4.

20. Dowieść, że można pokolorować liczby 1, 2, …, 1986 na dwa kolory tak, aby nie było jednokolorowego ci _{}agu arytmetycznego o długości 18.

21. Dany jest trójk _{}at ABC. Spodek wysokości C′ z punktu C leży wewn _{}atrz odcinaka AB. Rozpatrzmy okr _{}ag o średnicy CC′. Prosta AC przecina ten okr _{}ag w punktach C i P, a prosta CB w punktach C i X. Prosta AX przecina prost _{}a CC′ w punkcie Q. Udowodnić, że punkty B, P, Q s _{}a współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy AC = CB.

22. Pola ścian czworościanu wynosz _{}a S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}. W czworościanie tym leż _{}a cztery niewspółpłaszczyznowe punkty P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4} o tej własności, że jeśli przez d_{ij} oznaczymy odległość od punktu P_{i} do ściany S_{j} to dla każdego i ∈ {1, 2, 3, 4} czwórka d_{i1}, d_{i2}, d_{i3}, d_{i4} jest permutacj _{}a tej samej czwórki liczb. Pokazać, że S_{1} = S_{2} = S_{3} = S_{4}.

23. Funkcja f: R → R jest ci _{}agła i spełnia równanie funkcyjne:

f (\frac{x + y}{x − y} ) = \frac{f(x) + f(y)}{f(x) − f(y)} dla x ≠ y .

Wyznaczyć t_{}e funkcj_{}e.

24. Czy istnieje liczba naturalna, która ma nie wi_{}ecej niż 444 cyfry, dzieli si_{}e przez 1993 oraz czytana od końca jest t _{}a sam _{}a liczb _{}a?

25. Znaleźć wszystkie pary liczb naturalnych m, n takie, że:

2! + 3! + … + n! = m^{3}.

26. Dane s _{}a klocki trzech rodzajów: [figure: 1; 1; 1; ^{\sqrt{2}}; 2; ^{\sqrt{2}}]. Z klocków tych ułożono prostok _{}at o wymiarach m × n, przy czym wierzchołki klocków leż _{}a w punktach kratowych prostok _{}ata.

Udowodnić, że trójk _{}atów [figure] jest tyle samo co trójk _{}atów [figure] .

27. Dany jest trójk _{}at A_{1}A_{2}A_{3}. Niech B_{i} b_{}edzie środkiem boku A_{j}A_{k} (i ≠ j ≠ k ≠ i). Niech o b_{}edzie okr_{}egiem wpisanym w ten trójk _{}at. Z punktu B_{i} prowadzimy styczn _{}a do tego okr_{}egu różn _{}a od boku A_{j}A_{k}, która przecina prost _{}a B_{j}B_{k} w punkcie C_{i}. Udowodnić, że punkty C_{1}, C_{2}, C_{3} s _{}a współliniowe.

28. (Zawody drużynowe) Niech dla ustalonego n ⩾ 1 liczby nieujemne w_{1}, w_{2}, …, w_{n} spełniaj _{}a

warunek:

∑_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + w_{i}} = 1.

Udowodnić, że zachodzi nierówność:

∑_{i=1}^{n} \sqrt{w_{i}} ⩾ (n − 1) ∑_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{w_{i}}} .

29. (Zawody drużynowe) Zbadać, czy ci _{}ag

a_{n} = (∏_{i=1}^{n} ∏_{j=1}^{n} NWD (i, j) )1/n^{2}

jest zbieżny.

30. (Zawody drużynowe)

(a) Dane s _{}a trzy współśrodkowe okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3} o promieniach r_{1} < r_{2} < r_{3}. Z punktu A ∈ o_{3} prowadzimy styczne do o_{1} i o_{2} odpowiednio w punktach P i Q, które przecinaj _{}a o_{3} odpowiednio w punktach B i C (A ≠ B, C). Prosta P Q przecina okr_{}egi o_{1} i o_{2} odpowiednio w punktach R (R ≠ P) i S (S ≠ Q). Wykazać, że prosta CR jest styczna do o_{1}, prosta BS jest styczna do o_{2} i że proste te przecinaj _{}a si_{}e na o_{3}.

(b) Rozważyć powyższe zadanie przy założeniu, że okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3} s _{}a parami styczne zewn_{}etrznie, a nie współśrodkowe.