Obóz przygotowawczy do zawodów międzynarodowych Zwardoń, 22.05.1994 — 5.06.1994.

Pierwsze Zawody Indywidualne:

1. Dane są liczby naturalne k, n takie, że 1 < k n. Liczby rzeczywiste dodatnie x_{1}, x_{2}, …, x_{k} spełniają warunek x_{1} + …+ x_{k} = x_{1} · . . .· x_{k}. Wykazać, że x_{1}^{n−1} + …+ x_{k}^{n−1} kn. Dla jakich k, n oraz x_{1}, x_{2}, …, x_{k} zachodzi równość ?

2. Punkty P, Q, R należą odpowiednio do boków BC, CA, AB trójkąta ABC. Proste AP, BQ, CR przecinają się w punkcie S. W czworokąt P CQS wpisany jest okrąg o_{1}, a w czworokąt P BRS wpisany jest okrąg o_{2}. Okrąg o_{1} jest styczny do QS w punkcie E, okrąg o_{2} jest styczny do RS w punkcie F. Wykazać, że EQ = F R.

3. W przestrzeni danych jest n różnych punktów (n 3). Dla danej płaszczyzny p rozważamy liczbę S(p) równą sumie odległości danych punktów od płaszczyzny p. Udowodnić, że:

(a) W zbiorze wszystkich liczb S(p) istnieje liczba najmniejsza c.

(b) Jeżeli S(p_{0}) = c, to płaszczyzna p_{0} przechodzi przez pewne trzy spośród danych punktów.

4. Czworościan ABCD spełnia warunki: AB = CD = 1, < ) ADC = < ) DAB i < ) BCD = < ) CBA. Czworościan ten przecięto płaszczyzną równoległą do AB i CD. Obliczyć maksymalny obwód przekroju.

5. Dany jest 101-elementowy zbiór A liczb całkowitych. Udowodnić, że suma elementów pewnego niepustego podzbioru A jest podzielna przez 101.

6. P, Q i R są wielomianami jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych. Wielomiany te są parami względnie pierwsze i spełniają tożsamość P^{4} + Q^{4} = R^{2}. Udowodnić, że P, Q i R są stałe.

Drugie Zawody Indywidualne:

1. W 5005-elementowym zbiorze X wyróżniono rodzinę jego podzbiorów właściwych w ten sposób, że każdy dwuelementowy podzbiór zbioru X zawiera się w dokładnie jednym z wyróżnionych zbiorów. Dowieść, że pewien wyróżniony zbiór ma nie więcej niż 71 elementów.

2. W przestrzeni dane są wektory x_{1}, …, x_{20} takie, że długość każdego z nich jest równa co najmniej 3. Wykazać, że dla przynajmniej 110 par (i, j), (1 i j 20), wektor x_{i} + x_{j} ma długość co najmniej 2.

3. Rozważamy następującą grę na kracie dwuwymiarowej (tj. na zbiorze punktów o obu współrzędnych całkowitych). W pozycji początkowej każdemu punktowi (m, n) kraty przyporządkowana jest liczba całkowita nieujemna a(m, n). Następnie wykonujemy dowolną liczbę razy następującą operację. Wybieramy (o ile istnieje) dowolny punkt (m, n) dla którego a(m, n) 4, liczbę a(m, n) zmniejszamy o 4, a każdą z liczb a(m + 1, n), a(m − 1, n), a(m, n + 1), a(m, n − 1) powiększamy o 1. Otrzymaną w ten sposób pozycję nazwiemy końcową, jeżeli dla wszystkich punktów (m, n) mamy a(m, n) < 4. Udowodnić, że dla każdej pozycji początkowej istnieje co najwyżej jedna pozycja końcowa.

4. Wyznaczyć wszystkie wielomiany f(x) = x^{n} + a_{1}x^{n−1} + … + a_{n} spełniające warunki:

(i) dla każdego i ∈ {1, 2, …, n} zachodzi a_{i} ∈ {−1, 1} oraz (ii) f(x) ma n pierwiastków rzeczywistych.

5. Dla każdego n 3, wyznaczyć wszystkie funkcje ciągłe f: [0, 1] → ℝ takie, że f(x_{1}) + … + f(x_{n}) = 1 dla wszystkich układów x_{1}, …, x_{n} ∈ [0, 1] spełniających x_{1} + … + x_{n} = 1.

6. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Rozważmy takie punkty S należące do wnętrza ABCD, że < ) BSC = < ) BAS + < ) SDC. Wykazać, że wszystkie takie punkty S leżą na pewnym okręgu lub pewnej prostej.

Trzecie Zawody Indywidualne:

1. Pewien wielościan wypukły ma dwie ściany stukątne. Z każdego wierzchołka tego wielościanu wychodzą przynajmniej cztery krawędzie.

(a) Wykazać, że wielościan ten ma przynajmniej 200 ścian trójkątnych.

(b) Wykazać, że jeśli wielościan spełniający warunki zadania ma dokładnie 200 ścian trójkątnych, to wszystkie jego pozostałe ściany są czworokątami.

2. Niech n 2 oraz b_{0} ∈ [2, 2n − 1] będą liczbami całkowitymi. Definiujemy rekurencyjnie ciąg b_{n}

b_{i+1} = \{ \begin{matrix}2b_{i} − 1 & gdy b_{i} n \\ 2b_{i} − 2n & gdy b_{i} > n. \end{matrix}

Niech p = p(b_{0}, n) będzie najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią taką, że b_{p} = b_{0}.

(a) Dla każdego k 1 znaleźć p(2, 2^{k}) oraz p(2, 2^{k} + 1).

(b) Udowodnić, że p(b_{0}, n) | p(2, n).

3. S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, T jest środkiem okręgu dopisanego do tego trójkąta, stycznego do boku AC, P jest środkiem odcinka ST. Wykazać, że na czworokącie ABCP można opisać okrąg.

4. Dla jakich liczb naturalnych m liczba m^{4} + 4^{m} jest liczbą pierwszą?

5. Niech ℝ^{+} będzie zbiorem liczb rzeczywistych nieujemnych. Dla ustalonych liczb dodatnich a i b znaleźć wszystkie funkcje f: ℝ^{+} → ℝ^{+} spełniające warunek

f(f(x)) + af(x) = b(a + b)x dla każdego x ∈ ℝ^{+} .

6. Udowodnić, że każdą łamaną o długości 1 można pokryć półkolem o średnicy 1.

Dziesięć łatwych zadań niegeometrycznych:

1. Niech X = {1, 2, …, n}. Podzbiór P ⊂ X nazywa się wolny, jeśli dla dowolnych x, y, z ∈ P, x + y ≠ z. Ile najwięcej elementów może mieć podzbiór wolny?

2. Niech S_{n} będzie sumą największych nieparzystych dzielników liczb 1, 2, 3, …, 2^{n}. Wykazać, że 3S_{n} = 4^{n} + 2.

3. W każdym wierzchołku 25-kąta umieszczamy dowolnie liczbę 0 lub 1, a na każdym boku liczbę równą modułowi różnicy liczb umieszczonych na jego końcach. Jakie są możliwe wartości sumy liczb na bokach? Jakie są możliwe wartości sumy wszystkich 50 liczb?

4. Znaleźć minimum wyrażenia ∑_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{1 + a_{1} + … + a_{i−1} + a_{i+1} + … + a_{n}} dla liczb a_{i} 0 spełniających rów-

ność a_{1} + a_{2} + … + a_{n} = 1.

5. Przestrzeń malujemy trzema kolorami: czerwonym, zielonym i niebieskim. Przez C, (Z), (N) oznaczmy zbiór długości odcinków o obu końcach czerwonych, (zielonych), (niebieskich). Wykazać, że co najmniej jeden ze zbiorów C, Z, N jest równy ℝ^{+} .

6. Rozwiązać w liczbach całkowitych dodatnich k, m, n równanie 2^{m} − 1 = k^{n}.

7. Na płaszczyźnie danych jest 100 prostych, wśród których 10 jest parami równoległych, a 91 parami nierównoległych. Łączna liczba punktów przecięcia tych prostych jest równa 4903. Na ile sposobów te proste rozdzielają płaszczyznę?

8. Niech N będzie liczbą ciągów, których każdy wyraz jest równy 1 lub 3, a suma wyrazów jest równa 1994. Wyznaczyć resztę z dzielenia N przez 3.

9. Dowieść, że wśród 35 osób zawsze znajdą się 4 takie, z których każde dwie się znają, lub 5 takich, z których każde dwie się nie znają.

10. Dowieść, że dla każdego n > 100 mamy ∏_{i=1}^{n−1} ∏_{j=i+1}^{n} | ^{i} \sqrt{i} − ^{j} \sqrt{j} | ^{i+j} < 2^{−n^{10}} .

Dziesięć łatwych zadań geometrycznych:

1. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Punkty P, Q, R, S są odpowiednio środkami łuków AB, BC, CD, DA. Wykazać, że P R ⊥ QS.

2. Wszystkie ściany dwóch równoległościanów są przystającymi rombami. Czy te równoległościany muszą być przystające?

3. Trapez ABCD jest opisany na okręgu o promieniu 1 i środku S. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie P, P S = t. Obliczyć stosunek długości podstaw tego trapezu.

4. Czy istnieją dwa ostrosłupy o wspólnej podstawie czworokątnej, każdy o równych wysokościach ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka ostrosłupa, o różnych spodkach wysokości?

5. Prosta k przechodzi przez środek S okręgu o. Znaleźć zbiór wszystkich takich punktów P, dla których istnieje taki punkt A ∈ k, że prosta P A jest styczna do o i P A = AS.

6. Dany jest ostrosłup czworokątny o wypukłej podstawie. Wykazać, że istnieje taka płaszczyzna przecinająca krawędzie boczne tego ostrosłupa, że przekrojem jest równoległobok.

7. Punkt M jest środkiem boku BC trójkąta nierównoramiennego ABC, S jest środkiem okręgu wpisanego w △ABC. Prosta MS przecina wysokość poprowadzoną z A w punkcie E. Wykazać, że długość odcinka AE jest równa promieniowi okręgu wpisanego w △ABC.

8. Wielościan wypukły ma w wierzchołków. Obliczyć sumę kątów płaskich wszystkich jego ścian.

9. Punkt H nie należy do prostej k. Wykazać, że okręgi opisane na takich trójkątach ABC, że A ∈ k, B ∈ k i punkt H jest ich ortocentrum, przechodzą przez stały punkt.

10. O dwóch wielokątach mówimy, że są tego samego rodzaju, jeśli mają tę samą liczbę boków. Niech r będzie liczbą rodzajów ścian pewnego wielościanu wypukłego, a s liczbą jego ścian. Znaleźć najmniejszą możliwą wartość wyrażenia s − r.

11. Skonstruować bok kwadratu, mając dane odległości pewnego jego punktu wewnętrznego od trzech jego kolejnych wierzchołków.

12. Punkt P należy do ściany SAD ostrosłupa ABCDS. Narysować przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną P QR.

[figure: A; B; C; D; S; P; R; Q; D; A; B; C; S; Q; P; R]

Pierwsze Zawody Drużynowe:

1. Ciągi liczb rzeczywistych a_{n} i b_{n} są dane wzorami rekurencyjnymi:

a_{n+1} = a_{n} − b_{n} oraz b_{n+1} = 2b_{n}  gdy a_{n} b_{n}
a_{n+1} = 2a_{n} oraz b_{n+1} = b_{n} − a_{n}  gdy a_{n} < b_{n}

Znaleźć wszystkie pary (a_{1}, b_{1}) liczb rzeczywistych dodatnich takie, że a_{k} = 0 dla pewnego k.

2. Okręgi o, o_{1} i o_{2} są parami styczne zewnętrznie. Oznaczamy punkty styczności o i o_{1} przez A, o i o_{2} przez B. Znaleźć zbiór wszystkich środków jednokładności przekształcających o_{1} na o_{2} przy ustalonym okręgu o i punktach A i B oraz zmiennych okręgach o_{1} i o_{2}.

3. Wyznaczyć jak największą liczbę M o następującej własności. Dowolny wielokąt wypukły o 1994 wierzchołkach, z których każdy jest punktem kratowym (tzn. ma obie współrzędne całkowite) zawiera w swym wnętrzu co najmniej M punktów kratowych.

Drugie Zawody Drużynowe:

1. Na okręgu o długości 1 ustalono łuk A o długości α, gdzie 0 < α < 1 i α jest liczbą niewymierną. Z ustalonego punktu okręgu odłożono łuki długości α, 2α, …, nα. Niech k(n) oznacza liczbę końców tych łuków, które należą do A. Wykazać, że ciąg nα − k(n) jest ograniczony.

2. Proste AB i AC są styczne do okręgu o w punktach B i C. Na prostej AB wybieramy taki punkt D, aby B lażał na odcinku AD. Okrąg opisany na trójkącie ADC przecina okrąg o w punktach C i P. Punkt Q jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą CD. Udowodnić, że < ) DP Q = 2< ) ADC.

3. Liczba d jest dzielnikiem liczby naturalnej k. Oznaczmy przez X_{k} zbiór ciągów k-elementowych (x_{1}, …, x_{k}) o wyrazach ze zbioru liczb całkowitych nieujemnych spełniających warunki:

(i) 0 x_{1} … x_{k} k, (ii) liczba x_{1} + … + x_{k} jest podzielna przez d. Ponadto niech Y_{k} będzie zbiorem wszystkich tych ciągów (x_{1}, …, x_{k}) należących do X_{k}, dla których x_{k} = k. Obliczyć iloraz |X_{k}|/|Y_{k}|, gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A.