Obóz przygotowawczy do zawodów międzynarodowych Zwardoń, 2.06.1996 — 16.06.1996.

Zawody indywidualne:

1. Niech x_{n} będzie n-tą liczbą palindromiczną. Czy istnieje granica lim_{n→∞} \frac{x_{n}}{n^{2}} i jeśli tak, to ile ona wynosi?

2. Znaleźć wszystkie funkcje ciągłe f: ℝ → ℝ takie, że dla dowolnych x, y ∈ ℝ zachodzi równość:

f(x) + f(y) + 5xy(x + y) = f(x + y).

3. Czy z kwadratu o boku 7,99 mo żna wyciąć 50 kwadratów jednostkowych?

4. Czy istnieją parami ró żne liczby naturalne x_{1}, x_{2}, …, x_{1996} , y_{1}, y_{2}, …, y_{1996} większe od 1 i takie, że dla dowolnego niepustego zbioru A ⊂ {1, 2, …, 1996} liczba ∑_{i∈A} log_{x_{i}} y_{i} jest niewymierna, gdy A ≠ {1, 2, 3, …, 1996},

ale ∑_{i=1}^{1996} log_{x_{i}} y_{i} jest liczbą wymierną?

5. Niech n 4 będzie ustaloną liczbą naturalną. Wyznaczyć kres górny i kres dolny cyklicznej sumy

∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{x_{i−1} + x_{i} + x_{i+1}} ,

gdzie x_{n+1} = x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n} = x_{0} przebiegają wszystkie układy liczb rzeczywistych dodatnich.

6. Wypukły czworokąt ABCD jest opisany na okręgu o środku S, jest on również wpisany w okrąg. Prosta równoległa do AB, przechodząca przez S przecina AD w punkcie P i BC w punkcie Q, prosta równoległa do BC, przechodząca przez S przecina AB w punkcie K i CD w punkcie L. Wykazać, że P Q = KL.

7. Dowieść, że dla dowolnej liczby pierwszej p 5 istnieją liczby naturalne m < n < \sqrt{p} takie, że p−n^{2} | p−m^{2}.

8. Niech m_{a}, m_{b}, m_{c} będą długościami odpowiednich środkowych trójkąta o bokach a, b, c. Udowodnić, że

m_{a}(bc − a^{2}) + m_{b}(ca − b^{2}) + m_{c}(ab − c^{2}) 0.

9. Ciąg {R_{n}} jest określony rekurencyjnie:

R_{1} = 1  oraz  R_{n+1} = 1 + \frac{n}{R_{n}} dla n 1.

Dowieść, że dla dowolnego n 1 zachodzi nierówność

| ( R_{n} − \frac{1}{2})^{2} − n | < 1.

10. Rozwiązać układ równań

\{ \begin{matrix}x^{2} & = & −10y + 31 \\ y^{2} & = & −6z + 39 \\ z^{2} & = & −2t + 39 \\ t^{2} & = & 2x + 47 \end{matrix}

w liczbach rzeczywistych nieujemnych x, y, z, t.

11. W pudełku znajduje się 1999 krówek popularnych śmietankowych i 2002 krówki popularne czekoladowe. Wybieramy losowo k krówek popularnych. Dla jakich liczb k prawdopodobieństwo wylosowania nieparzystej liczby krówek popularnych czekoladowych jest równe \frac{1}{2}?

12. Udowodnić, że istnieją takie dwa niepodobne czworościany, że w każdym z nich środki okręgów opisanych na ścianach są współpłaszczyznowe, ale dowolne dwa czworościany mające współliniowe środki okręgów opisanych na ścianach są podobne.

13. Ciąg (a_{n}) liczb naturalnych dany jest rekurencyjnie wzorami:

a_{1} = 1, a_{n+1} = a_{n} + [\sqrt{a_{n}} ].

Dowieść, że w ciągu (a_{n}) występuje nieskończenie wiele sześcianów liczb całkowitych.

14. Punkt S jest środkiem ustalonego okręgu o, M jest rzutem prostokątnym punktu S na ustaloną prostą l. Niech P będzie zmieniającym się punktem na o, natomiast c będzie okręgiem o średnicy P M przecinającym odpowiednio o i l po raz drugi w punktach X i Y. Udowodnić, że wszystkie proste XY mają punkt wspólny.

15. Dowieść, że wielomian

∑ (x − n_{1})(x − n_{2})(x − n_{3}) …(x − n_{1000} ),

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych 1 n_{1} < n_{2} < n_{3} < … < n_{1000} 1996, nie ma pierwiastków wielokrotnych.

16. Rozwiązać układ równań:

\{ \begin{matrix}1 + x_{1} & = & x_{2}^{2} \\ 1 + x_{2} & = & x_{3}^{2} \\ ........ & . & .... \\ 1 + x_{1995} & = & x_{1996}^{2} \\ 1 + x_{1996} & = & x_{1}^{2} \end{matrix}

w liczbach rzeczywistych x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{1996} .

17. Niech S będzie zbiorem wszystkich n^{2} punktów kratowych, których obie współrzędne są liczbami naturalnymi nie przekraczającymi n. Malujemy na czerwono n losowo wybranych punktów zbioru S. Przez W_{n} oznaczmy wartość oczekiwaną liczby prostokątów o bokach równoległych do osi układu współrzędnych, których wszystkie cztery wierzchołki zostały pokolorowane na czerwono. Obliczyć lim_{n→∞} W_{n} .

18. Wewnątrz trójkąta ABC znajduje się punkt P taki, że < ) P BC = < ) P CA < < ) P AB. Prosta BP przecina okrąg opisany na trójkącie ABC w punktach B i E. Okrąg opisany na trójkącie AP E przecina prostą CE w punktach E i F. Udowodnić, że

S(AP EF) = S(ABP) + S(BCP)

wtedy i tylko wtedy, gdy < ) P BA = < ) BCA.

Zadania domowe:

1. Dowieść, że w zapisie dziesiętnym liczby 1996^{1996^{1996}} co najmniej 1996 cyfr jest ró żnych od 7.

2. Liczbę nazywamy homonimiczną, jeśli ma parzystą liczbę cyfr i składa się z tej samej grupy cyfr powtórzonej dwukrotnie, np. 11, 7373, 15941594. Dowieść, że istnieją parami ró żne liczby naturalne a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{1996} mające tę samą liczbę cyfr i takie, że liczby a_{1}^{2}, a_{2}^{2}, a_{3}^{2}, …, a_{1996}^{2} są homonimiczne.

3. Odcinek długości 1996 na p laszczyźnie jest równoleg ly do osi OX i nie zawiera punktów kratowych (tzn. o obu współrzędnych całkowitych). Czy mo żna tak poruszać tym odcinkiem, aby w żadnym momencie nie zawiera l punktów kratowych, a po zakończeniu ruchu by lrównoleg ly do osi OY?

4. Czy istnieje taki wielomian W stopnia 1996, że dla dowolnego x niewymiernego W (x) jest liczbą niewymierną?

5. Czy kulę domkniętą o promieniu 1996 mo żna roz lo żyć na sumę roz lącznych okręgów?

6. Dowieść, że istnieje taka liczba rzeczywista dodatnia x, że dla n naturalnych liczba [x^{n}] jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.

7. Dowieść, że dla dowolnych liczb naturalnych n i k spełniających nierówność 2 k n oraz dodatnich liczb rzeczywistych x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n} zachodzi nierówność

∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{∑_{l=−k+1}^{k−1} x_{i+l}} [ \frac{n}{k}] ,

gdzie numeracja x-ów jest cykliczna, tzn. x_{n+s} = x_{s}.

8. Ciąg (a_{n}) jest określony rekurencyjnie: a_{1} = 16, a_{2} = 20, a_{3} = 25 oraz

a_{n+3} = a_{n+2} + a_{n+1} + a_{n} dla n 1.

Niech p > 10000 będzie liczbą pierwszą. Obliczyć resztę z dzielenia liczby a_{q} przez p^{1996} , gdzie q = (p^{p})! .

9. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o środku O. Proste AD i BC przecinają się w punkcie P. Niech L i M będą odpowiednio środkami boków AD i BC, niech zaś Q i R będą rzutami prostokątnymi odpowiednio punktów O i P na prostą LM. Dowieść, że LQ = RM.

10. Dany jest wypukły n-kąt A_{1}A_{2} …A_{n} (n 3) i punkt P. Załóżmy, że rzuty prostokątne punktu P na proste A_{1}A_{2}, A_{2}A_{3}, …, A_{n}A_{1} leżą na okręgu o środku O.

(a) Dowieść, że jeśli punkt P należy do wnętrza n-kąta, to O również.

(b) Czy (a) jest prawdziwe dla wklęsłych n-kątów?

(c) Dla jakich n twierdzenie odwrotne do (a) jest prawdziwe?

Osiem latwych zadań geometrycznych:

1. Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu o promieniu 1, E jest środkiem AB, F jest środkiem CD; EF = t. Wykazać, że S(ABCD) 2t. Dla jakich czworokątów ma miejsce równość? (S(ABCD) oznacza pole czworokąta ABCD).

2. Dany jest okrąg o oraz punkt H należący do wnętrza koła wyznaczonego przez o. Znaleźć zbiór środków boków takich trójkątów wpisanych w o, by H był ich ortocentrum.

3. Dane są różne punkty A i B. Rozważmy pary okręgów stycznych zewnętrznie i stycznych do prostej AB w punktach odpowiednio A i B. Rozważmy drugie proste styczne do tych okręgów odpowiednio w różnych punktach A′ i B′. Znaleźć zbiór środków tak otrzymanych odcinków A′B′ przy ustalonych punktach A i B.

4. Punkt B należy do odcinka AC. Rozważmy okręgi przechodzące przez punkty A i C. Przez B i środek jednego z łuków AC takiego okręgu prowadzimy prostą przecinającą taki okrąg w drugim punkcie P. Znaleźć zbiór tak otrzymanych punktów P przy ustalonych punktach A, B i C.

5. Czworokąt P QRS jest wpisany w okrąg. Jego przekątne przecinają się w punkcie M. Punkty A, B, C, D są rzutami prostokątnymi M na proste P Q, QR, RS, SP. Wykazać, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

6. AB jest średnicą okręgu o, prosta k jest styczna do okręgu o w punkcie A, punkt F należy do k, prosta BF przecina okrąg o w drugim punkcie D, prosta styczna do o w punkcie D przecina prostą k w punkcie C. Wykazać, że C jest środkiem odcinka AF.

7. Dana jest sfera s, prosta k oraz punkt A. Przez punkt A prowadzimy płaszczyznę równoległą do k, styczną do s. Znaleźć zbiór takich punktów A, dla których nie istnieje rozwiązanie tego zadania, przy ustalonych k i s.

8. Każda krawędź pewnego czworościanu przystaje do krawędzi skośnej do niej. Wykazać, że ściany tego czworościanu są trójkątami ostrokątnymi.

9. Punkt F nie należy do żadnej z dwóch przecinających się prostych k i l. Znaleźć zbiór drugich ognisk G takich elips stycznych do k i l, że F jest ich pierwszym ogniskiem.

10. Wykazać, że w dowolnym trójkącie rzuty prostokątne dowolnego spodka wysokości na pozostałe boki i na wysokości są współliniowe.

Osiem latwych zadań niegeometrycznych:

1. Dowieść, że liczba

( \sqrt{11 + \sqrt{44}} − \sqrt{11}) ^{(\sqrt{12+\sqrt{44}} −\sqrt{11}) ^{(\sqrt{13+\sqrt{44}} −\sqrt{11})}}

jest niewymierna.

2. Niech a_{1} = 1, a_{2} = 5 oraz a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} dla n 1. Dowieść, że jeśli

\frac{1}{a_{n}} − \frac{1}{a_{n+1}} − \frac{1}{a_{n+2}} = \frac{p_{n}}{q_{n}} ,

gdzie p_{n} i q_{n} są całkowite, to 19 | p_{n}.

3. Czy liczb naturalnych, które nie dadzą się przedstawić w postaci sumy kwadratów skończenie wielu kolejnych liczb naturalnych jest skończenie wiele?

4. (Zadanie niegeometryczne czwarte) W przestrzeni dany jest zbiór S złożony z n 4 punktów. Dowieść, że wśród nich znajdą się

(a) takie trzy różne punkty A, B, C, że dla dowolnego czwartego punktu D ∈ S różnego od A, B, C zachodzi nierówność

AB + BC + CA AD + BD + CD,

(b) takie trzy różne punkty A′, B′, C′, że dla dowolnego czwartego punktu D′ ∈ S różnego od A′, B′, C′ zachodzi nierówność

A′B′+ B′C′+ C′A′ A′D′+ B′D′+ C′D′.

5. Dowieść, że jeśli liczby rzeczywiste dodatnie x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{36} spełniają nierówność ∑_{i=1}^{36} x_{i}^{2} 36, to

1996 · ∑_{i=1}^{36} x_{i} + ∑_{i=1}^{36} x_{i}^{4} 36 · 1997.

6. Wyznaczyć wszystkie ciągi a_{1} a_{2} a_{3} … a_{n} liczb rzeczywistych dodatnich takie, że

∑_{i=1}^{n} a_{i} = 96,  ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{3} = 216,  ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{6} = 729.

7. Dla jakich n naturalnych liczba 2^{n} + 5 · 3^{n} jest kwadratem liczby całkowitej?

8. Czy istnieje taka liczba naturalna, której kwadrat ma sumę cyfr równą 1996?

9. Czy istnieje 1996 kolejnych liczb naturalnych, z których każda ma co najmniej 1996 różnych dzielników pierwszych?

10. Dany jest wielomian W stopnia większego lub równego 5 o współczynnikach całkowitych. Załóżmy, że W przyjmuje wartość 5 dla co najmniej 5-ciu różnych argumentów całkowitych. Dowieść, że W nie przyjmuje wartości 96 dla żadnego argumentu całkowitego.

Pierwsze zawody dru żynowe:

1. Dla jakich liczb naturalnych n liczba \binom{n}{2}! dzieli się przez liczbę 1! · 2! · 3! · 4! · . . . · n! ?

2. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n, dla których prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Dla dowolnych liczb naturalnych a, p i q takich, że n | p − q zachodzi podzielność n | a^{p} − a^{q}.

3. Znaleźć wszystkie rozwiązania równania 6^{x} = 43 · 5^{y} + 1 w liczbach całkowitych x, y.

4. Każde dwa spośród 222 trójkami niewspółliniowych punktów płaszczyzny połączono odcinkiem czerwonym lub zielonym. Dowieść, że można wybrać z nich sześć takich punktów, z których każde dwa są połączone tym samym kolorem.

5. Znaleźć trzy ostatnie cyfry liczby [(4 + \sqrt{24})^{1002} ].

6. Znaleźć wszystkie funkcje f: ℝ → ℝ spełniające równość

(f(x + y))^{2} = f(1)f(x^{2}) + 2f(x)f(y) + f(1)f(y^{2})

dla wszystkich liczb rzeczywistych x i y.

7. Okręgi c_{1} i c_{2} o środkach O_{1} i O_{2} przecinają się w punktach A i B. Prosta l przechodząca przez punkt A przecina odpowiednio okręgi c_{1} i c_{2} w drugich punktach C i D. Proste CO_{1} i DO_{2} przecinają się w punkcie P, a prosta m przechodząca przez P i prostopadła do CD przecina prostą AB w punkcie Q. Dowieść, że punkty P, D, Q, C i B leżą na jednym okręgu.

8. Niech D, E, F będą punktami leżącymi na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC oraz niech R będzie promieniem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Udowodnić, że

( \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} ) (DE + EF + F D) \frac{AB + BC + CA}{R} .

9. Punkt S jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, punkty P i Q są rzutami punktu A odpowiednio na proste BS i CS. Wykazać, że

\frac{AP}{BS} + \frac{AQ}{CS} = ctg \frac{A}{2}.

Drugie zawody dru żynowe:

1. Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że 2^{n} w zapisie dziesiętnym ma końcówkę n, tzn. 10^{k} | 2^{n} − n, gdzie k = [ log_{10} n] + 1.

2. Znaleźć wszystkie funkcje ciągłe f: ℝ → ℝ spełniające równość

f(x + y + z) + f(x) + f(y) + f(z) = f(x + y) + f(x + z) + f(y + z) + f(0)

dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y i z.

3. Czy istnieje podzbiór płaszczyzny, którego rzut prostokątny na dowolną prostą jest:

(a) sumą trzech rozłącznych odcinków otwartych?

(b) sumą czterech rozłącznych odcinków otwartych?

(c) sumą 1996 rozłącznych odcinków otwartych?