Obóz przygotowawczy do zawodów mi_{}edzynarodowych Zwardoń, 2.06.1997 — 15.06.1997.

Pierwsze Zawody Indywidualne:

1. Dane s _{}a liczby całkowite a_{1}, a_{2}, …, a_{2n}. Dowieść, że można znaleźć takie liczby naturalne m, k_{1}, k_{2}, …, k_{m}, że:

n < m ⩽ 2n,  1 ⩽ k_{1} < k_{2} < k_{3} < … < k_{m} ⩽ 2n  oraz  n | a_{k_{1}} + a_{k_{2}} + a_{k_{3}} + … + a_{k_{m}}.

2. W pewnej klasie zadano to samo pytanie nauczycielowi i uczniom. Prawdopodobieństwo, że nauczyciel odpowie prawidłowo wynosi p. Uczeń odpowie prawidłowo z prawdopodobieństwem d, gdy jest dziewczynk _{}a i z prawdopodobieństwem 1 − d, gdy jest chłopcem. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrany uczeń odpowie tak samo jak nauczyciel wynosi \frac{1}{2}. Jaka jest proporcja liczby chłopców do liczby dziewczynek w tej klasie?

3. Przek _{}atne czworok _{}ata wypukłego ABCD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, wysokości trójk _{}atów P AB i P CD, poprowadzone z punktu P s _{}a równe oraz wysokości trójk _{}atów P BC i P DA poprowadzone z punktu P s _{}a równe. Wykazać, że czworok _{}at ABCD jest równoległobokiem.

4. Niech n ⩾ 3 b_{}edzie tak _{}a liczb _{}a naturaln _{}a, że równanie

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + … + x_{n}^{2} = x_{1}x_{2} … x_{n}  (♠)

ma co najmniej jedno rozwi _{}azanie w liczbach całkowitych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}. Dowieść, że wówczas równanie (♠) ma nieskończenie wiele rozwi _{}azań w liczbach całkowitych dodatnich.

5. Dla jakich liczb naturalnych n ⩾ 2 nierówność

x_{1}^{2}x_{2}^{2} + x_{2}^{2}x_{3}^{2} + … + x_{n−1}^{2}x_{n}^{2} + x_{n}^{2}x_{1}^{2} ⩽ x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{3}^{3} + … + x_{n−1}x_{n}^{3} + x_{n}x_{1}^{3}  (♣)

zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}? Dla jakich n dowolne liczby rzeczywiste dodatnie y_{1}, y_{2}, …, y_{n} posiadaj _{}a permutacj_{}e x_{1}, x_{2}, …, x_{n} spełniaj _{}ac _{}a nierówność (♣)?

6. Udowodnić, że w dowolnym sześciok _{}acie wypukłym o polu 1 istnieje przek _{}atna odcinaj _{}aca trójk _{}at o polu nie wi_{}ekszym niż \frac{1}{6}.

Drugie Zawody Indywidualne:

1. Znaleźć wszystkie funkcje ci _{}agłe f: ℝ → ℝ o wartościach nieujemnych spełniaj _{}ace dla x, y ∈ ℝ nast_{}epuj _{}ace

równości:

\begin{aligned}f(x)f(y) & = & f(x + y) + f(x − y) \\ f(x + 3) + 5f(x + 1) & = & 5f(x + 2) + f(x). \end{aligned}

2. Znaleźć wielomian W (x) o nast_{}epuj _{}acej własności: dla dowolnego n liczba sposobów, na które można wypłacić n złotych [polskich (nowych)] przy pomocy monet o nominałach 1, 2 i 5 PLN, jest równa [W (n)].

Uwaga: [x] oznacza cz_{}eść całkowit _{}a liczby rzeczywistej x.

3. Punkt P nie należy do sfery s, okr _{}ag o jest w sferze s zawarty. Prowadzimy wszystkie proste przechodz _{}ace przez P i punkty na okr_{}egu o. Wykazać, że drugie punkty przeci_{}ecia tych prostych ze sfer _{}a s leż _{}a na okr_{}egu.

4. Dane s _{}a liczby naturalne m i n takie, że m ⩽ n oraz m jest dzielnikiem pewnej pot_{}egi liczby n. Pokazać, że m^{m^{m}} jest dzielnikiem n^{n^{n}}.

5. Dla jakich liczb naturalnych n ⩾ 2 układ równań

\{ \begin{matrix}4x_{1}^{2} + 8x_{2}^{2} & = & 33x_{1}x_{2} \\ 4x_{2}^{2} + 8x_{3}^{2} & = & 33x_{2}x_{3} \\ . . . . . . . . . . . . & . & . . . . . . . . . \\ 4x_{n−1}^{2} + 8x_{n}^{2} & = & 33x_{n−1}x_{n} \\ 4x_{n}^{2} + 8x_{1}^{2} & = & 33x_{n}x_{1} \end{matrix}

ma rozwi _{}azanie w liczbach rzeczywistych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}?

6. W wypukłym czworok _{}acie ABCD punkt K jest środkiem boku AB. Wiadomo, że < ) CKD = 120^{∘}. Wykazać, że AB + 2AD + 2BC ⩾ 2CD.

Trzecie Zawody Indywidualne:

1. Niech P ≠ Q b_{}ed _{}a takimi wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, że

P (Q(x)) = Q(P (x)).

Pokazać, że wielomian P (x) − Q(x) jest dzielnikiem wielomianu P (P (x)) − Q(Q(x)).

2. W przestrzeni danych jest 513 punktów, z których żadne cztery nie s _{}a współpłaszczyznowe. Każdy odcinek o końcach w tych punktach pomalowano na jeden z 9 kolorów. Dowieść, że istnieje łamana zamkni_{}eta złożona z nieparzystej liczby odcinków tego samego koloru.

3. Niech D b_{}edzie punktem leż _{}acym na boku BC trójk _{}ata ABC. Niech E i F b_{}ed _{}a odpowiednio środkami okr_{}egów wpisanych w trójk _{}aty ABD i ACD. Dowieść, że jeśli punkty B, C, E, F leż _{}a na jednym okr_{}egu, to

\frac{AD + BD}{AD + CD} = \frac{AB}{AC} .

4. Czy cz_{}eść wspólna zbioru punktów (x, y, z) przestrzeni spełniaj _{}acych równanie x^{4} + y^{4} + z^{4} = 1 oraz płaszczyzny przechodz _{}acej przez punkt (0, 0, 0) może być (a) okr_{}egiem, (b) elips _{}a nie b_{}ed _{}ac _{}a okr_{}egiem?

5. Niech n ≥ 2. Znaleźć najwi_{}eksz _{}a wartość wyrażenia

x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{4} + … + x_{n−1}x_{n} + x_{n}x_{1} ,

gdzie x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n} przebiegaj _{}a wszystkie liczby rzeczywiste nieujemne takie, że x_{1}+x_{2}+x_{3}+…+x_{n} = 1. Wyznaczyć wszystkie układy liczb x_{1}, x_{2}, x_{3}, …, x_{n}, dla których ta najwi_{}eksza wartość jest osi _{}agana.

6. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, proste AB i CD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, proste AD i BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Wykazać, że punkt przeci_{}ecia dwusiecznych k _{}atów ARB i BP C jest współliniowy ze środkami przek _{}atnych czworok _{}ata ABCD.

5 Łatwych Zadań Probabilistycznych:

1. W fiolce znajduje si_{}e d dużych tabletek i m małych. Duża tabletka zawiera dwa razy wi_{}ecej leku niż mała. Każdego dnia pacjent wybiera losowo jedn _{}a tabletk_{}e. Gdy trafi na duż _{}a, przełamuje j _{}a na pół i zjada połow_{}e, zaś drug _{}a połow_{}e wkłada do fiolki. Przełamana tabletka traktowana jest przez pacjenta jako mała. Oczekiwana liczba małych tabletek w fiolce w momencie, kiedy pacjent wylosowal ostatni _{}a duż _{}a tabletk_{}e, wynosi W (d, m). Pokazać, że istniej _{}a takie liczby rzeczywiste a_{d}, b_{d} niezależne od m, że W (d, m) = ma_{d} +b_{d}.

2. Gwiazda ma r ramion, zaś na j-tym ramieniu ma n_{j} ⩾ 1 punktów (jeden z nich jest końcowym punktem ramienia). Cz _{}asteczka startuje z centrum gwiazdy, wybiera losowo (z prawdopodobieństwem \frac{1}{r}) rami_{}e, wykonuje jeden krok po ramieniu w kierunku końca i jeśli go nie osi _{}agnie, porusza si_{}e po ramieniu losowo (z prawdopodobieństwem \frac{1}{2}) od- lub dośrodkowo. Jeśli osi _{}agnie koniec ramienia, podróż cz _{}asteczki si_{}e kończy, jeśli dotrze do centrum, wybiera losowo rami_{}e i.t.d. Obliczyć prawdopodobieństwo, że cz _{}asteczka dotrze do końca j-tego ramienia.

3. Potasowano n kartek z liczbami od 1 do n, a nast_{}epnie utworzono z nich stosy według nast_{}epuj _{}acej reguły: pierwsza kartka jest pocz _{}atkiem pierwszego stosu; kolejna kartka należy do tego samego stosu dopóki liczba na niej napisana jest mniejsza od liczby na poprzedniej kartce. Jeżeli liczba z kolejnej kartki jest wi_{}eksza niż jej poprzedniczka, kartka rozpoczyna nowy stos. Znaleźć wartość oczekiwan _{}a liczby stosów.

4. Niech p b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a nieparzyst _{}a. Wyznaczyć liczb_{}e podzbiorów A zbioru {1, 2, …, 2p} takich, że:

(i) A ma dokładnie p elementów,

(ii) suma wszystkich elementów zbioru A jest podzielna przez p.

5. W chwili t = 0 w wierzchołkach trójk _{}ata stoj _{}a trzy osoby. Każda z nich stoi w innym wierzchołku. W kolejnych chwilach t = 1, 2, … jednocześnie każda z nich losowo (z prawdopodobieństwem \frac{1}{2}) przemieszcza si_{}e do jednego z dwóch s _{}asiednich wierzchołków. Jaka jest wartość oczekiwana czasu, jaki upłynie aż wszystkie trzy osoby spotkaj _{}a si_{}e w jednym z wierzchołków trójk _{}ata?

Tuzin Tuzinkowych Zadań Geometrycznych:

1. Wysokość trójk _{}ata prostok _{}atnego ABC poprowadzona z wierzchołka k _{}ata prostego dzieli ten trójk _{}at na dwa trójk _{}aty o obwodach odpowiednio 2a i 2b. Znaleźć obwód trójk _{}ata ABC.

2. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a styczne wewn_{}etrznie do okr_{}egu o w punktach odpowiednio A i B. Promienie tych okr_{}egów s _{}a mniejsze od promienia okr_{}egu o. Prosta k jest styczna do okr_{}egów o_{1} i o_{2} w punktach odpowiednio D i C; okr_{}egi te leż _{}a po jednej stronie prostej k. Wykazać, że na czworok _{}acie ABCD można opisać okr _{}ag.

3. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} leż _{}a po jednej stronie prostej k i s _{}a styczne do niej w różnych punktach odpowiednio A i B. Okr _{}ag o jest styczny zewn_{}etrznie do tych okr_{}egów i styczny do prostej k. Maj _{}ac dane promienie okr_{}egów o_{1} i o_{2} oraz długość odcinka AB, znaleźć promień okr_{}egu o.

4. Czworościan ma trzy osie symetrii. Czy musi to być czworościan foremny?

5. Prowadzimy w czworościanie cztery proste ł _{}acz _{}ace odpowiednio jego wierzchołki ze środkami okr_{}egów wpisanych w przeciwległe ściany. Wykazać, że jeśli dwie spośród tych prostych przecinaj _{}a si_{}e, to i dwie pozostałe przecinaj _{}a si_{}e.

6. Prowadzimy w czworościanie wszystkie płaszczyzny wyznaczone odpowiednio przez końce jednej kraw_{}edzi i środek kraw_{}edzi do niej skośnej. Na ile cz_{}eści te płaszczyzny rozcinaj _{}a czworościan?

7. Punkty P, Q, R s _{}a środkami odpowiednio boków BC, CA, AB trójk _{}ata ABC, punkt S należy do wn_{}etrza trójk _{}ata P QR. Proste P S, QS, RS przecinaj _{}a odcinki QR, RP, P Q odpowiednio w punktach K, L, M. Wykazać, że proste AK, BL, CM przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

8. Czy istnieje taki czworościan foremny, że współrz_{}edne wszystkich jego wierzchołków s _{}a całkowite?

9. Na płaszczyźnie dany jest czworok _{}at wypukły oraz dwusieczne trzech jego k _{}atów. Skonstruować dwusieczn _{}a czwartego k _{}ata, używaj _{}ac jedynie linijki.

10. Na płaszczyźnie dany jest nierównoramienny trójk _{}at t oraz okr _{}ag o, przechodz _{}acy przez dwa wierzchołki trójk _{}ata t oraz przez środek okr_{}egu wpisanego w t. Skonstruować środek okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at t, używaj _{}ac jedynie linijki (środek okr_{}egu o nie jest dany).

11. Wykazać, że w dwunastok _{}acie foremnym A_{1}A_{2} … A_{12} przek _{}atne A_{1}A_{5}, A_{3}A_{8} i A_{4}A_{11} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

12. Podstaw _{}a ostrosłupa jest równoległobok ABCD, S jest jego wierzchołkiem, punkt A spodkiem wysokości. Okr_{}egi wpisane w ściany SBC i SDC s _{}a styczne. Wykazać, że podstaw _{}a tego ostrosłupa jest romb.

Zadania Domowe:

1. (a) Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej n ⩾ 2 zachodzi podzielność

(n!)^{n+1}|(n^{2})! .

(b) Znaleźć wszystkie liczby naturalne n ⩾ 2, dla których zachodzi podzielność

(n!)^{n+2}|(n^{2})! .

(c) Znaleźć tak _{}a liczb_{}e naturaln _{}a n ⩾ 2, że zachodzi podzielność

(n!)^{n+3}|(n^{2})! .

2. Ci _{}ag liczbowy a_{1}, a_{2}, …, a_{n} nazwiemy subarytmetycznym, jeśli

2a_{k} ⩽ a_{k−1} + a_{k+1} dla k = 2, 3, …, n − 1.

Ci _{}ag nazwiemy superarytmetycznym, jeśli

2a_{k} ⩾ a_{k−1} + a_{k+1} dla k = 2, 3, …, n − 1.

Ci _{}ag nazwiemy wypukłym, jeśli jest sub- lub superarytmetyczny. Dowieść, że z każdego ci _{}agu liczbowego 100 wyrazowego można wybrać podci _{}ag wypukły pi_{}eciowyrazowy.

3. Spośród trójk _{}atów o obwodzie 1 wybrać taki, dla którego suma aα + bβ + cγ jest najmniejsza, gdzie a, b, c, s _{}a długościami boków trójk _{}ata, a α, β, γ, s _{}a miarami przeciwległych im k _{}atów, wyrażonymi w radianach.

4. Ci _{}ag (x_{n})_{n=1}^{∞} ma t_{}e własność, że dla dowolnego trójmianu kwadratowego P o współczynnikach naturalnych lim_{n→∞}(x_{n} + x_{P (n)}) = 0 . Czy lim_{n→∞} x_{n} = 0 ?

5. Pokazać, że ci _{}ag (x_{n})_{n=1}^{∞} spełniaj _{}acy warunki: 0 < x_{1} < 1 oraz x_{n+1} = x_{n} + \frac{x_{n}^{2}}{n^{2}} dla n ⩾ 1 jest ograniczony.

6. W kole o promieniu 10 leż _{}a 372 punkty. Pokazać, że w pewnym pierścieniu o promieniach 2 i 3 leży co najmniej 12 spośród nich.

Pierwsze Zawody Drużynowe:

1. Dowieść, że liczba

∏_{n=8}^{64} (\binom{3n + 31}{n}\binom{4n − 19}{n + 5} − \binom{3n + 31}{n + 5}\binom{3n + 1}{n})

jest sześcianem liczby całkowitej.

Uwaga: ∏_{n=k}^{l} a_{n} = a_{k} · a_{k+1} · a_{k+2} · . . . · a_{l} .

2. Niech P b_{}edzie wielomianem dwóch zmiennych trzeciego stopnia takim, że P (x, y) = 0 dla siedmiu różnych punktów (x, y) pewnego okr_{}egu. Pokazać, że wówczas P (x, y) = 0 dla każdego punktu (x, y) tego okr_{}egu.

3. Dowieść, że istnieje taka liczba naturalna n, że n! w zapisie dziesi_{}etnym rozpoczyna si_{}e cyframi 1997.

4. Ci _{}ag (a_{n})_{n=1}^{∞} liczb naturalnych spełnia warunek: 4a_{n}^{2} + a_{n+1}^{2} = 1 + 4a_{n}a_{n+1}. Dowieść, że nie wszystkie wyrazy ci _{}agu (a_{n}) s _{}a liczbami pierwszymi.

5. Niech A = \{[αn] : n ∈ N\} oraz B = \{[α^{2}n] : n ∈ N\}, gdzie α = 1 + \sqrt{3}. Dowieść, że zbiór A ∪ B nie zawiera żadnej trójki kolejnych liczb naturalnych.

6. Dla jakich liczb naturalnych n ⩾ 2 prawdziwe jest nast_{}epuj _{}ace twierdzenie: wśród dowolnych n^{2} osób, z których każda ma co najmniej jednego znajomego, znajduje si_{}e n + 1 osób maj _{}acych t_{}e sam _{}a liczb_{}e znajomych lub wspólnego znajomego. Uwaga: Jeśli osoba A zna B, to B zna A. Nikt nie jest swoim znajomym.

7. Chomik Leonid ma pod ziemi _{}a 4 spiżarnie położone w wierzchołkach czworościanu foremnego o boku 1 metr. Czy Leonid może poł _{}aczyć te spiżarnie sieci _{}a tuneli o ł _{}acznej długości mniejszej niż \sqrt{6} metrów?

8. Boki AB, BC, CD, DA czworok _{}ata ABCD opisanego na okr_{}egu o środku P s _{}a do niego styczne odpowiednio w punktach K, L, M, N. Wykazać, że:

\frac{LN}{KM} = \frac{P B · P C + P A · P D}{P A · P B + P C · P D} .

9. Dany jest taki pi_{}eciok _{}at wypukły ABCDE, że istnieje punkt F leż _{}acy na boku AB, spełniaj _{}acy warunki: < ) F CE = < ) ADE oraz < ) F EC = < ) BDC. Wykazać, że zachodzi równość: < ) BCD + < ) DEA = 180^{∘}.

10. Punkt H jest ortocentrum nieprostok _{}atnego trójk _{}ata ABC. Prosta l, przechodz _{}aca przez H, przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach D i E, nie b_{}ed _{}acych wierzchołkami trójk _{}ata ABC. Niech P b_{}edzie dowolnym takim punktem, że AP ⊥ l. Wykazać, że [P BD] : [P CE] = DH: HE, gdzie [ABC] oznacza pole trójk _{}ata ABC.

Drugie Zawody Drużynowe:

1. Niech s_{n} b_{}edzie sum _{}a cyfr liczby n. Znaleźć najmniejsz _{}a liczb_{}e naturaln _{}a k tak _{}a, że

∑_{n} n^{k}(−1)^{s_{n}} ≠ 0 ,

gdzie sumowanie rozci _{}aga si_{}e na wszystkie liczby naturalne n ⩽ 10^{1997} − 1, które w zapisie dziesi_{}etnym nie maj _{}a ani cyfry 2, ani 7. Uwaga: 0 nie jest liczb _{}a naturaln _{}a.

2. Dane s _{}a liczby naturalne a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{1000} takie, że a_{1} + a_{2} + a_{3} + … + a_{1000} = 1997. Niech P_{k} b_{}edzie

liczb _{}a permutacji n_{1}, n_{2}, n_{3}, …, n_{1000} zbioru {1, 2, 3, …, 1000} takich, że

k ∈ { a_{n_{1}} , a_{n_{1}}+a_{n_{2}} , a_{n_{1}}+a_{n_{2}}+a_{n_{3}} , …, a_{n_{1}}+a_{n_{2}}+a_{n_{3}}+...+a_{n_{1000}} }.

Dowieść, że P_{999} = P_{1000}.

3. Punkt P leży wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC. Niech D, E, F b_{}ed _{}a odpowiednio rzutami prostok _{}atnymi punktu P na proste BC, CA, AB. Niech O b_{}edzie środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie DEF, zaś r jego promieniem. Dowieść, że:

pole (ABC) ⩾ 3r\sqrt{3r^{2} − 3(OP)^{2}} .