L Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego

I seria.

1. Dowieść, że wśród liczb postaci 50^{n} + (50n + 1)^{50}, gdzie n jest liczbą naturalną, występuje nieskończenie wiele liczb złożonych.

2. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d zachodzi nierówność (a + b + c + d)^{2} 3(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) + 6ab .

3. W trójkącie równoramiennym ABC kąt BAC jest prosty. Punkt D leży na boku BC, przy czym BD = 2·CD. Punkt E jest rzutem prostokątnym punktu B na prostą AD. Wyznaczyć miarę kąta CED.

4. Dane są takie liczby rzeczywiste x, y, że liczby x + y, x^{2} + y^{2}, x^{3} + y^{3} i x^{4} + y^{4} są całkowite. Dowieść, że dla

każdej liczby całkowitej dodatniej n liczba x^{n} + y^{n} jest liczbą całkowitą.

Rozwiązania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu) mają być wysłane pod adresem właściwego komitetu okręgowego Olimpiady najpóźniej dnia

12 października 1998 r.

Rozwiązania przesłane w terminie późniejszym nie będą rozpatrywane.

II seria.

5. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich x, y spełniające równanie yx = x^{50} .

6. Przekątne AC i BD czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie P. Punkt M jest środkiem boku AB. Prosta MP przecina bok CD w punkcie Q. Dowieść, że stosunek pól trójkątów BCP i ADP jest równy stosunkowi długości odcinków CQ i DQ.

7. Dana jest liczba naturalna n 2. Wyznaczyć wszystkie wielomiany P (x) = a_{0} + a_{1}x + … + a_{n}x^{n} mające

dokładnie n pierwiastków nie większych niż −1 oraz spełniające warunek

a_{0}^{2} + a_{1}a_{n} = a_{n}^{2} + a_{0}a_{n−1} .

Uwaga: Pierwiastki są liczone z uwzględnieniem krotności: jeśli liczba x_{0} jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu P (x) (tzn. jeśli wielomian P (x) jest podzielny przez wielomian (x − x_{0})^{k}, ale nie przez (x − x_{0})^{k+1} ), wówczas liczba x_{0} jest traktowana jak k pierwiastków wielomianu P (x).

8. Dana jest liczba naturalna n 2 oraz zbiór n-elementowy S. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną k, dla której istnieją podzbiory A_{1}, A_{2}, …, A_{k} zbioru S o następującej własności: dla dowolnych dwóch różnych elementów a, b ∈ S, istnieje taka liczba j ∈ {1, 2, …, k}, że zbiór A_{j} ∩ {a, b} jest jednoelementowy.

Rozwiązania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu) mają być wysłane pod adresem właściwego komitetu okręgowego Olimpiady najpóźniej dnia

12 listopada 1998 r.

Rozwiązania przesłane w terminie późniejszym nie będą rozpatrywane.

III seria.

9. Punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójkąta ABC. Okręgi wpisane w trójkąty AEF, BF D, CDE są styczne do okręgu wpisanego w trójkąt DEF. Udowodnić, że proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie.

10. Dana jest liczba x_{1} > 0. Ciąg (x_{n}) jest zdefiniowany wzorem:

x_{n+1} = x_{n} + \frac{1}{x_{n}^{2}} dla n = 1, 2, 3, ….

Udowodnić, że istnieje granica lim_{n→∞} \frac{x_{n}}{\sqrt[3]{n}} i obliczyć ją.

11. W urnie znajdują się dwie kule: biała i czarna. Ponadto mamy do dyspozycji 50 kul białych i 50 czarnych. Wykonujemy 50 razy następującą czynność: losujemy z urny kulę, a następnie wrzucamy ją z powrotem do urny oraz dokładamy jedną kulę tego samego koloru, co wylosowana kula. Po zakończeniu tych czynności mamy więc w urnie 52 kule. Jaka liczba kul białych znajdujących się w urnie jest najbardziej prawdopodobna?

12. Wszystkie wierzchołki sześcianu o krawędzi a leżą na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi 1. Wyznaczyć możliwe wartości a.

Rozwiązania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu) mają być wysłane pod adresem właściwego komitetu okręgowego Olimpiady najpóźniej dnia

10 grudnia 1998 r.

Rozwiązania przesłane w terminie późniejszym nie będą rozpatrywane.