L Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego

Zadania na dzień 26 lutego 1999 r. (pierwszy dzień zawodów)

1. Dana jest funkcja f: ⟨0, 1⟩ → ℝ taka, że f(\frac{1}{n}) = (−1)^{n} dla n = 1, 2, …. Wykazać, że nie istnieją takie funkcje rosnące g: ⟨0, 1⟩ → ℝ, h: ⟨0, 1⟩ → ℝ, że f = g − h.

2. Sześcian S o krawędzi 2 jest zbudowany z ośmiu sześcianów jednostkowych. Klockiem nazwiemy bryłę otrzymaną przez usunięcie z sześcianu S jednego spośród ośmiu sześcianów jednostkowych. Sześcian T o krawędzi 2^{n} jest zbudowany z (2^{n})^{3} sześcianów jednostkowych. Udowodnić, że po usunięciu z sześcianu T dowolnego spośród (2^{n})^{3} sześcianów jednostkowych powstaje bryła, którą daje się szczelnie wypełnić klockami.

3. Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg. Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach AB i CD, przy czym AE:EB = CF :F D. Punkt P leży na odcinku EF i spełnia warunek EP :P F = AB:CD. Udowodnić, że stosunek pól trójkątów AP D i BP C nie zależy od wyboru punktów E i F.

Zadania na dzień 27 lutego 1999 r. (drugi dzień zawodów)

4. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ABC i spełnia warunki: < ) P AB = < ) P CA oraz < ) P AC = < ) P BA. Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Dowieść, że jeżeli O ≠ P, to kąt AP O jest prosty.

5. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5}. Wyznaczyć liczbę funkcji f: S → S spełniających równość f^{50}(x) = x dla wszystkich x ∈ S.

Uwaga: f^{50}(x) = \underbrace{f ∘ f ∘ … ∘ f}_{50}(x).

6. Dana jest liczba naturalna k 2 oraz liczby całkowite a_{1}, a_{2}, …, a_{n} spełnia-

jące warunki

a_{1} + 2^{i}a_{2} + 3^{i}a_{3} + … + n^{i}a_{n} = 0 dla i = 1, 2, …, k− 1. Dowieść, że liczba a_{1} + 2^{k}a_{2} + 3^{k}a_{3} + … + n^{k}a_{n} jest podzielna przez k! .