LI Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe

zawodów stopnia trzeciego

Stalowa Wola, 3–4 kwietnia 2000

1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x_{1},x_{2},...,x_{n}) układu równań

\{ \begin{matrix}x_{2}+x_{1}^{2} & & = & 4x_{1} \\ x_{3}+x_{2}^{2} & & = & 4x_{2} \\ x_{4}+x_{3}^{2} & & = & 4x_{3} \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ x_{n} +x_{n−1}^{2} & & = & 4x_{n−1} \\ x_{1}+x_{n}^{2} & & = & 4x_{n} \end{matrix}

w liczbach rzeczywistych nieujemnych.

2. Dany jest trójkąt ABC, w którym AC = BC. Punkt P leży wewnątrz trójkąta ABC, przy czym < ) P AB = < ) P BC. Punkt M jest środkiem boku AB. Dowieść, że

< ) AP M +< ) BP C = 180^{∘}.

3. Ciąg liczb naturalnych (p_{n}) spełnia następujące warunki: 1^{∘} p_{1} i p_{2} są liczbami pierwszymi, 2^{∘} dla n 3 liczba p_{n} jest największym dzielnikiem pierwszym liczby

p_{n−1} +p_{n−2} +2000 .

Udowodnić, że ciąg (p_{n}) jest ograniczony.

4. W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku S i podstawie A_{1}A_{2}...A_{n} każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60^{∘}. Dla każdej liczby naturalnej n 3 rozstrzygnąć, czy można wybrać takie punkty B_{2},B_{3},...,B_{n} leżące odpowiednio na krawędziach A_{2}S,A_{3}S,...,A_{n}S, że

A_{1}B_{2}+B_{2}B_{3}+B_{3}B_{4}+...+B_{n−1} B_{n} +B_{n}A_{1} < 2A_{1}S.

5. Dla danej liczby naturalnej n 2 znaleźć najmniejszą liczbę k o następującej własności. Z dowolnego k-elementowego zbioru pól szachownicy n×n, można wybrać taki niepusty podzbiór, że liczba pól tego podzbioru w każdym wierszu i w każdej kolumnie szachownicy jest parzysta.

6. Stopień wielomianu P (x) o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego x

P (x^{2}−1) = (P (x))^{2}−1.

Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi równość P (x) = x.