LIII Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego

22 lutego 2002 r. (pierwszy dzień zawodów)

1. Dana jest taka funkcja f:ℝ → ℝ, że dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzą równości

f(x) = f(2x) = f(1−x) .

Dowieść, że funkcja f jest okresowa.

2. W czworokącie wypukłym ABCD zachodzą równości

< ) ADB = 2< ) ACB oraz < ) BDC = 2< ) BAC.

Udowodnić, że AD = CD.

3. W n-osobowym stowarzyszeniu działa sześć komisji. W skład każdej z nich wchodzi nie mniej niż n/4 osób. Dowieść, że istnieją dwie komisje oraz grupa licząca nie mniej niż n/30 osób, należących do obu tych komisji.

Informacje dla uczestnika zawodów

1. Czas trwania zawodów: 300 minut (5 godzin).

2. Przed rozpoczęciem rozwiązywania należy przepisać tekst każdego zadania na oddzielnym arkuszu.

3. Należy pisać wyłącznie na papierze dostarczonym przez Komitet. Na jednym arkuszu nie należy pisać rozwiązań różnych zadań.

4. W przypadku konieczności otrzymania dodatkowego papieru, wyjścia z sali itp., należy podnieść rękę i siedząc na miejscu zaczekać na podejście dyżurującego.

5. W przypadku stwierdzenia niesamodzielności pracy w czasie zawodów lub w trak- cie jej oceny, Komitet unieważni pracę.

6. W czasie zawodów nie wolno korzystać z kalkulatorów.

LIII Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2002 r. (drugi dzień zawodów)

4. Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych p q r, że liczby

pq +r, pq +r^{2}, qr +p, qr +p^{2}, rp+q, rp+q^{2}

są pierwsze.

5. Trójkąt ABC, w którym < ) BAC = 90^{∘}, jest podstawą ostrosłupa ABCD. Ponadto zachodzą równości

AD = BD oraz AB = CD.

Udowodnić, że < ) ACD 30^{∘} .

6. Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x_{1},x_{2},...,x_{n}, y_{1},y_{2},...,y_{n} zachodzi nierówność

x_{1}x_{2}...x_{n} +y_{1}y_{2}...y_{n} \sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} ·\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} ·...·\sqrt{x_{n}^{2} +y_{n}^{2}} .

Informacje dla uczestnika zawodów

1. Czas trwania zawodów: 300 minut (5 godzin).

2. Przed rozpoczęciem rozwiązywania należy przepisać tekst każdego zadania na oddzielnym arkuszu.

3. Należy pisać wyłącznie na papierze dostarczonym przez Komitet. Na jednym arkuszu nie należy pisać rozwiązań różnych zadań.

4. W przypadku konieczności otrzymania dodatkowego papieru, wyjścia z sali itp., należy podnieść rękę i siedząc na miejscu zaczekać na podejście dyżurującego.

5. W przypadku stwierdzenia niesamodzielności pracy w czasie zawodów lub w trak- cie jej oceny, Komitet unieważni pracę.

6. W czasie zawodów nie wolno korzystać z kalkulatorów.