XLIX Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego

I seria (okres od 11 września do 10 października 1997 r.)

1. Rozwi _{}azać układ równań

\{ \begin{matrix}|x − y| − \frac{|x|}{x} = −1 \\ |2x − y| + |x + y − 1| + |x − y| + y − 1 = 0. \end{matrix}

2. Proste zawieraj _{}ace wysokości trójk _{}ata ABC, wpisanego w okr _{}ag o środku O, przecinaj _{}a si_{}e w punkcie H, przy czym AO = AH. Obliczyć miar_{}e k _{}ata CAB.

3. Ci _{}agi (a_{n}), (b_{n}), (c_{n}) s _{}a określone przez warunki: a_{1} = 4, a_{n+1} = a_{n}(a_{n} − 1), 2^{b_{n}} = a_{n}, 2^{n−c_{n}} = b_{n} dla n = 1, 2, 3, …. Wykazać, że ci _{}ag (c_{n}) jest ograniczony.

4. Dana jest liczba dodatnia a. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste c maj _{}ace nast_{}epuj _{}ac _{}a własność: dla każdej pary liczb dodatnich x, y spełniona jest nierówność

(c − 1)x^{a+1} ⩽ (cy − x)y^{a}.

Rozwi _{}azania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu) maj _{}a być wysłane pod adresem właściwego komitetu okr_{}egowego Olimpiady najpóźniej dnia

10 października 1997 r.

Rozwi _{}azania przesłane w terminie późniejszym nie b_{}ed _{}a rozpatrywane.

II seria (okres od 11 października do 10 listopada 1997 r.)

5. Dana jest liczba całkowita n ⩾ 1. Rozwi _{}azać rówanie

|tg^{n}x − ctg^{n}x| = 2n|ctg 2x|.

6. W trójk _{}acie ABC punkt D jest środkiem boku BC, punkt E leży na boku AC. Punkty P i Q s _{}a odpowiednio rzutami prostok _{}atnymi punktów B i E na prost _{}a AD. Udowodnić, że BE = AE +AC wtedy i tylko wtedy, gdy AD = P Q.

7. Dane s _{}a liczby naturalne m, n ⩾ 1. Niech A = {1, 2, 3, …, n}. Wyznaczyć liczb_{}e funkcji f: A → A przyjmuj _{}acych dokładnie m wartości oraz spełniaj _{}acych warunek

jeżeli k, ℓ ∈ A, k ⩽ ℓ, to f(f(k)) = f(k) ⩽ f(ℓ).

8. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje wielościan wypukły maj _{}acy k kraw_{}edzi oraz płaszczyzna nie przechodz _{}aca przez żaden z jego wierzchołków i przecinaj _{}aca r kraw_{}edzi, przy czym 3r > 2k.

Rozwi _{}azania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu) maj _{}a być wysłane pod adresem właściwego komitetu okr_{}egowego Olimpiady najpóźniej dnia

10 listopada 1997 r.

Rozwi _{}azania przesłane w terminie późniejszym nie b_{}ed _{}a rozpatrywane.

III seria (okres od 11 listopada do 10 grudnia 1997 r.)

9. Niech a_{0} = 0,91 oraz a_{k} = 0, \underbrace{99 … 9}_{2^{k}} \underbrace{00 … 0}_{2^{k}−1} 1 dla k = 1, 2, 3, …. Obliczyć lim_{n→∞}(a_{0}a_{1} … a_{n}).

10. Środkowe AD, BE, CF, trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie G. Na czworok _{}atach AF GE i BDGF można opisać okr_{}egi. Wykazać, że trójk _{}at ABC jest równoboczny.

11. W turnieju tenisowym uczestniczyło n graczy. Każdy rozegrał z każdym innym jeden mecz; nie było remisów. Udowodnić, że istnieje taki gracz A, który każdego innego gracza B pokonał bezpośrednio lub pośrednio, tzn. A wygrał z B lub A pokonał pewnego zawodnika C, który wygrał z B.

12. Niech g(k) b_{}edzie najwi_{}ekszym dzielnikiem pierwszym liczby całkowitej k, gdy |k| ⩾ 2, oraz niech g(−1) = g(0) = g(1) = 1. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taki wielomian W stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych, dla którego zbiór liczb postaci g(W (x)) (x — całkowite) jest skończony.

Rozwi _{}azania powyższych zadań (każde na osobnym arkuszu) maj _{}a być wysłane pod adresem właściwego komitetu okr_{}egowego Olimpiady najpóźniej dnia

10 grudnia 1997 r.

Rozwi _{}azania przesłane w terminie późniejszym nie b_{}ed _{}a rozpatrywane.