XLIX Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego

Zadania na dzień 27 lutego 1998 r. (pierwszy dzień zawodów)

1. Niech A_{n} = {1, 2, …, n}. Rozstrzygnąć, czy dla każdej liczby naturalnej n 2 istnieją funkcje f: A_{n} → A_{n}, g: A_{n} → A_{n}, spełniające warunki: f(f(k)) = g(g(k)) = k dla k = 1, 2, …, n; g(f(k)) = k + 1 dla k = 1, 2, …, n− 1.

2. W trójkącie ABC kąt BCA jest rozwarty oraz < ) BAC = 2< ) ABC. Prosta przechodząca przez punkt B i prostopadła do BC przecina prostą AC w punkcie D. Punkt M jest środkiem boku AB. Dowieść, że < ) AMC = < ) BMD .

3. (a) Liczby nieujemne a, b, c, d, e, f, których suma jest równa 1, spełniają

zależność

ace + bdf \frac{1}{108} .

Udowodnić, że

abc + bcd + cde + def + efa + fab \frac{1}{36} .

(b) Rozstrzygnąć, czy istnieje sześć różnych liczb dodatnich a, b, c, d, e, f o sumie równej 1, dla których obie napisane wyżej nierówności stają się równościami.

Zadania na dzień 28 lutego 1998 r. (drugi dzień zawodów)

4. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych x, y spełniające równanie x^{2} + 3y^{2} = 1998x.

5. Liczby nieujemne a_{1}, a_{2}, …, a_{7}, b_{1}, b_{2}, …, b_{7} spełniają warunek

a_{i} + b_{i} 2 dla i = 1, 2, …, 7.

Wykazać, że dla pewnych dwóch różnych liczb k, m ∈ {1, 2, …, 7} zachodzi nierówność |a_{k} − a_{m}| + |b_{k} − b_{m}| 1 .

6. Dany jest czworościan ABCD. Dowieść, że krawędzie AB i CD są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w przestrzeni taki równoległobok CDP Q, że P A = P B = P D oraz QA = QB = QC.