XLVIII Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia pierwszego

I seria.

1. Rozwi _{}azać układ równań

\{ \begin{matrix}x · |x| + y · |y| & = & 1 \\ [x] + [y] & = & 1 \end{matrix}

Uwaga. [t] jest najwi_{}eksz _{}a liczb _{}a całkowit _{}a nie wi_{}eksz _{}a od t.

2. Punkt P leży wewn _{}atrz równoległoboku ABCD, przy czym < ) ABP = < ) ADP. Wykazać, że < ) P AB = < ) P CB.

3. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b ⩾ 1, c ⩾ 0 oraz dla każdej liczby naturalnej n ⩾ 1 zachodzi nierówność (ab + c)^{n} − c ⩽ ((b + c)^{n} − c)a^{n}.

4. Udowodnić, że liczba naturalna n ⩾ 2 jest złożona wtedy i tylko wtedy, gdy istniej _{}a liczby naturalne a, b, x, y ⩾ 1 spełniaj _{}ace warunki: a + b = n, \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.

II seria.

5. Dwusieczne k _{}atów wewn_{}etrznych A, B, C trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a przeciwległe boki odpowiednio w punktach D, E, F, a okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC — odpowiednio w punktach K, L, M. Dowieść, że

\frac{AD}{DK} + \frac{BE}{EL} + \frac{CF}{F M} ⩾ 9.

6. Wielomian P (x) stopnia n spełnia warunek

P (k) = \frac{1}{k} dla k = 1, 2, 4, 8, …, 2^{n}.

Obliczyć P (0).

7. Obliczyć kres górny obj_{}etości czworościanów zawartych w kuli o danym promieniu R, których jedn _{}a z kraw_{}edzi jest średnica tej kuli.

8. Niech a_{n} b_{}edzie liczb _{}a wszystkich niepustych podzbiorów zbioru {1, 2, …, 6n}, których suma elementów daje przy dzieleniu przez 6 reszt_{}e 5 oraz niech b_{n} b_{}edzie liczb _{}a wszystkich niepustych podzbiorów zbioru {1, 2, …, 7n}, których iloczyn elementów daje przy dzieleniu przez 7 reszt_{}e 5. Obliczyć iloraz a_{n}/b_{n}.

III seria.

9. Wyznaczyć wszystkie funkcje f: ⟨1; ∞) → ⟨1; ∞) spełniaj _{}ace nast_{}epuj _{}ace warunki:

(i) f(x + 1) = \frac{(f(x))^{2} − 1}{x} dla x ⩾ 1;

(ii) funkcja g(x) = \frac{f(x)}{x} jest ograniczona.

10. Punkty P, Q leż _{}a wewn _{}atrz trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC, przy czym < ) ACP = < ) BCQ oraz < ) CAP = < ) BAQ. Punkty D, E, F s _{}a rzutami prostok _{}atnymi punktu P odpowiednio na boki BC, CA, AB. Dowieść, że k _{}at DEF jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy punkt Q jest punktem przeci_{}ecia wysokości trójk _{}ata BDF.

11. Dana jest liczba naturalna m ⩾ 1 oraz wielomian P (x) stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych maj _{}acy co najmniej trzy różne pierwiastki całkowite. Dowieść, że wielomian P (x) + 5^{m} ma co najwyżej jeden pierwiastek całkowity.

12. Grupa złożona z n osób stwierdziła, że codziennie przez pewien okres czasu trzy z nich mog _{}a wspólnie zjeść obiad w restauracji, przy czym każde dwie z nich spotkaj _{}a si_{}e na dokładnie jednym obiedzie. Dowieść, że liczba n przy dzieleniu przez 6 daje reszt_{}e 1 lub 3.