XLVIII Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia drugiego

Zadania na dzień 21 lutego 1997 r. (pierwszy dzień zawodów)

1. Dla każdej liczby rzeczywistej a wyznaczyć liczb_{}e uporz _{}adkowanych trójek liczb rzeczywistych (x, y, z) spełniaj _{}acych układ równań

\{ \begin{matrix}x + y^{2} + z^{2} & = & a \\ x^{2} + y + z^{2} & = & a \\ x^{2} + y^{2} + z & = & a \end{matrix}

2. Punkt P leży wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC i spełnia warunki:

< ) P BA = < ) P CA = \frac{1}{3}(< ) ABC + < ) ACB) .

Udowodnić, że

\frac{AC}{AB + P C} = \frac{AB}{AC + P B} .

3. Dany jest zbiór n punktów (n ⩾ 2), z których żadne trzy nie leż _{}a na jednej prostej. Kolorujemy wszystkie odcinki o końcach w tym zbiorze tak, by każde dwa odcinki o wspólnym końcu miały różne kolory. Wyznaczyć najmniejsz _{}a liczb_{}e kolorów, dla której istnieje takie pokolorowanie.

Zadania na dzień 22 lutego 1997 r. (drugi dzień zawodów)

4. Wyznaczyć wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich maj _{}acych nast_{}epuj _{}ac _{}a własność: iloczyn dowolnych dwóch z nich daje reszt_{}e 1 przy dzieleniu przez trzeci _{}a liczb_{}e.

5. Rzucamy k kostkami sześciennymi białymi i m czarnymi. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że reszta z dzielenia przez 7 ł _{}acznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach białych jest równa reszcie z dzielenia przez 7 ł _{}acznej liczby oczek wyrzuconych na kostkach czarnych.

6. W sześcianie o kraw_{}edzi długości 1 leży osiem punktów. Wykazać, że pewne dwa z nich s _{}a końcami odcinka o długości nie wi_{}ekszej niż 1.