XLVIII Olimpiada Matematyczna

Zadania konkursowe zawodów stopnia trzeciego

Zadania na dzień 4 kwietnia 1997 r. (pierwszy dzień zawodów)

1. Liczby całkowite dodatnie x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}, x_{7} spełniaj _{}a warunki:

x_{6} = 144 oraz x_{n+3} = x_{n+2}(x_{n+1} + x_{n}) dla n = 1, 2, 3, 4.

Wyznaczyć x_{7}.

2. Znaleźć wszystkie trójki liczb rzeczywistych x, y, z spełniaj _{}ace układ równań

\{ \begin{matrix}3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) & = & 1 \\ x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + z^{2}x^{2} & = & xyz(x + y + z)^{3}. \end{matrix}

3. Środkowe ścian bocznych ABD, ACD, BCD ostrosłupa ABCD poprowadzone z wierzchołka D tworz _{}a równe k _{}aty z kraw_{}edziami, do których zostały poprowadzone. Wykazać, że pole każdej ściany bocznej jest mniejsze od sumy pól pozostałych dwóch ścian bocznych.

Zadania na dzień 5 kwietnia 1997 r. (drugi dzień zawodów)

4. Ci _{}ag a_{1}, a_{2}, a_{3}, … jest określony wzorami

a_{1} = 0, a_{n} = a_{[n/2]} + (−1)^{n(n+1)/2} dla n > 1.

Dla każdej liczby całkowitej k ⩾ 0 wyznaczyć liczb_{}e numerów n spełniaj _{}acych warunki

2^{k} ⩽ n < 2^{k+1}, a_{n} = 0.

Uwaga. [n/2] jest najwi_{}eksz _{}a liczb _{}a całkowit _{}a nie przekraczaj _{}ac _{}a n/2.

5. Dany jest pi_{}eciok _{}at wypukły ABCDE, w którym DC = DE oraz < ) DCB = < ) DEA = 90^{∘}. Niech F b_{}edzie punktem boku AB wyznaczonym przez warunek AF : BF = AE: BC. Udowodnić, że < ) F CE = < ) ADE oraz < ) F EC = < ) BDC.

6. Na okr_{}egu o promieniu 1 leży n różnych punktów (n ⩾ 2). Niech q b_{}edzie liczb _{}a odcinków o końcach w tych punktach i długości wi_{}ekszej niż \sqrt{2}. Dowieść, że 3q ⩽ n^{2}.