\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\pagestyle{empty}
\input polchar

\newcommand{\demi}{\mathrm{d}\mu}
\newcommand{\e}{\varepsilon}

\title{Konstrukcja cia\l a Hardy'ego}
\date{kwiecie/n 2009 r.}
\author{Pawe\l \ J/oziak}

\begin{document}
\maketitle
\noindent Zacz/e\l o si/e od prostego zadania: znale/x/c grup/e automorfizm/ow (cia\l a) prostej rzeczywistej. Niech $\phi \in \mathrm{Aut}(\mathbf{R})$, poka/zemy najpierw, /ze $\phi$ jest ci/ag\l e: wystarczy sprawdzi/c to dla zbior/ow bazowych topologii na $\mathbf{R}$, czyli odcink/ow otwartych. Poka/zemy, /ze przeciwobraz odcinka te/z jest odcinkiem. Zauwa/zmy w tym celu, /ze dla $t>0$ mamy: 
$$\phi (t) = \phi (\sqrt{t}^2) = \phi (\sqrt{t})^2 >0$$
gdzie ostatnia r/owno/s/c wynika z tego, /ze $\phi$ zachowuje mno/zenie, a nier/owno/s/c z tego, /ze $\phi$ jest monomorfizmem, wi/ec jedynie zero przechodzi na zero. Niech teraz $b>a$. Wtedy mamy:
$$\phi(b)-\phi(a) = \phi(b-a) >0$$
wobec poprzedniego spostrze/zenia. To znaczy, /ze $\phi$ jest izomorfizmem porz/adkowym, a poniewa/z rozumowanie mo/zna powt/orzy/c przy $t<0$, wi/ec i odwrotny do $\phi$ jest izomorfizmem porz/adkowym, zatem:
$$\phi^{-1}(a,b) = \{ x\in \mathbf{R} :\ a < \phi(x) < b\} = $$
$$=\{ x\in \mathbf{R} :\ \phi^{-1}(a) < x < \phi^{-1}(b)\} = (\phi^{-1}(a), \phi^{-1}(b) )$$
Teraz zauwa/zmy, /ze $\phi(1) =1$, wi/ec dla $n\in\mathbf{N}$
$$\phi(n) = \phi(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n}) = \underbrace{\phi(1)+\phi(1)+\ldots+\phi(1)}_{n}=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n} = n$$
Wobec tego, /ze $\phi$ zachowuje dodawanie, mamy tak/ze:
$$0=\phi(0)=\phi (n + (-n)) = \phi(n)+\phi(-n) = n + \phi(-n)$$
czyli $\phi$ jest identyczno/sci/a na liczbach ca\l kowitych. R/ownie/z dla $n\in\mathbf{N}$:
$$1 = \phi(1) = \phi(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\ldots+\frac{1}{n}}_{n}) = \underbrace{\phi(\frac{1}{n})+\phi(\frac{1}{n})+\ldots+\phi(\frac{1}{n})}_{n}= n\cdot \phi(\frac{1}{n})$$
oraz dla $\frac{p}{q}\in\mathbf{Q}$ (bez straty og/olno/sci, $q\in\mathbf{N}$)
$$\phi(\frac{p}{q})=\phi(p\cdot\frac{1}{q})=\phi(p)\cdot\phi(\frac{1}{q})=p\cdot\frac{1}{q}=\frac{p}{q}$$
czyli $\phi$ jest identyczno/sci/a na liczbach wymiernych. Wobec g/esto/sci liczb wymiernych i ci/ag\l o/sci $\phi$, grupa automorfizm/ow prostej rzeczywistej jest trywialna.\\
W rozwi/azaniu korzystali/smy praktycznie wy/lacznie z w\l asno/sci zachowywania mno/zenia i dodawania przez automorfizm oraz tego, /ze zachowuje on struktur/e porz/adku. Naturalnym w tym momencie wydaje si/e pytanie o to, czy istnieje cia\l o uporz/adkowane, kt/ore ma nietrywialn/a grup/e automorfizm/ow - odpowied/x jest twierdz/aca. Pierwszym kandydatem by\l o jedno z najwi/ekszych znanych przeci/etnemu cz\l owiekowi cia\l \ -- cia\l o liczb hiperrzeczywistych. Niestety, o ile kandydat dobry, o tyle znalezienie jakiegokolwiek automorfizmu nie jest \l atwe. Podamy natomiast konstrukcj/e innego cia\l a, kt/ore daje si/e w\l o/zy/c w liczby hiperrzeczywiste. Na pytanie, czy automorfizm daje si/e przed\l u/zy/c do tego wi/ekszego cia\l a odpowiedzi nie znam.\\
Na ciele $\mathbf{R}(X)$ wprowadzamy preporz/adek formu\l /a:
$$f\preceq g \ \equiv \ \exists x_0 \in \mathbf{R} \ \forall x\geq x_0 \quad f(x)\leq g(x)$$
Rozwa/za/c b/edziemy cia\l o $\mathbf{K}=\mathbf{R}(X)/\approx$.
Aby by/c pewnym konstrukcji, sprawd/xmy najpierw, /ze $\mathbf{K}$ faktycznie jest cia\l em: kluczowa jest dobra okre/slono/s/c mno/zenia \{dodawania\}. Niech $f_i \approx g_i , \quad i=1,\ 2$. Mamy:
$$ f_i \preceq g_i \Rightarrow \exists x_i \forall x\geq x_i f_i (x) \leq g_i (x), \quad i=1,\ 2$$
Ale dla $x\geq \mathrm{max}(x_1,\ x_2) \ f_1(x)\leq g_1(x) $ i $ f_2(x)\leq g_2(x) $, tak wi/ec
w/owczas $f_1(x)\cdot f_2(x)\leq g_1(x)\cdot g_2 (x) $ \{ $f_1(x)+ f_2(x)\leq g_1(x)+ g_2 (x)$\}, czyli $f_1\cdot f_2\preceq g_1 \cdot g_2$ \{$f_1+ f_2\preceq g_1 + g_2$\}. W drug/a stron/e jednakowo, wi/ec $f_1 \cdot f_2 \approx g_1 \cdot g_2 $ \{$f_1 + f_2 \approx g_1 + g_2 $\}, tzn. $[f_1 \cdot f_2]_\approx = [g_1 \cdot g_2]_\approx$ \{$[f_1 + f_2]_\approx = [g_1 + g_2]_\approx$\}. Wobec dobrego zdefiniowania dzia\l a/n, wszelkie aksjomaty cia\l a typu \l aczno/s/c, rozdzielno/s/c s/a w oczywisty spos/ob dziedziczone z cia\l a $\mathbf{R}(X)$. Dla liczby $t\in\mathbf{R}_+$ definiujemy funkcj/e $\phi_t\ : \mathbf{R}(X)\to\mathbf{R}(X)$ wzorem $\phi_t (f)(x) = f(tx) $. Poka/zemy, /ze zrzutowana na cia\l o $\mathbf{K}$ jest dobrze okre/slonym automorfizmem zachowuj/acym porz/adek. Jasnym jest, /ze pokazanie zachowywania preporz/adku na $\mathbf{R}(X)$ da nam automatycznie dobr/a okre/slono/s/c oraz injektywno/s/c i zachowywanie porz/adku na $\mathbf{K}$. Je/sli $f \preceq g$, to $\exists x_0 \forall x\geq x_0\quad f(x)\leq g(x)$. Wtedy tak/ze, k\l ad/ac $y_0 = \frac{x_0}{t}, y=\frac{x}{t}$, $\forall y\geq y_0 f(ty)\leq g(ty)$, co pokazuje tez/e. Surjektywno/s/c jest oczywista, nawet na $\mathbf{R}(X)$: Je/sli chcemy dosta/c funkcj/e $f(x)$, wystarczy za argument wzi/ac funkcj/e $f(\frac{x}{t})$. \L atwo tak/ze zauwa/zy/c, /ze $\phi_t$ zachowuje dzia\l ania na $\mathbf{R}(X)$: 
$$ \phi_t (f\cdot g)(x) = (f\cdot g) (tx) = f(tx)\cdot g(tx) $$$$
\phi_t (f)(x) \cdot \phi_t(g) (x)  = f(tx)\cdot g(tx)
$$
i dok\l adnie tak samo dla dodawania. Skonstruowali/smy zatem dobrze okre/slony automorfizm zachowuj/acy porz/adek w ciele $\mathbf{K}$. Zauwa/zmy, /ze w konstrukcji nie korzystali/smy z /zadnych w/lasno/sci ani prostej rzeczywistej - konstrukcje zatem mo/zna rozszerzy/c na dowolne cia\l o uporz/adkowane - ani z /zadnych w\l asno/sci cia\l a funkcyj wymiarnych - z wyj/atkiem tego, /ze jest cia\l em. Konstrukcje zatem mo/zna rozszerzy/c na dowolne cia\l o funkcyj nad dowolnym cia\l em uporz/adkowanym - tak og/olna konstrukcja nosi nazw/e cia\l a Hardy'ego.




\end{document}
