Analiza funkcjonalna - rok akademicki 2025/2026

Zakres materiału na egzamin ustny.

Tematyka wykładów:

• 1. Przestrzenie liniowe, przestrzenie metryczne, przestrzenie zupełne przestrzenie unormowane, normy i półnormy, przestrzenie Banacha.
• 2. Nierówność Holdera i Minkowskiego, przestrzeń Banacha L^p.
• 3. Przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej Hausdorffa i funkcji mierzalnych istotnie ograniczonych, przestrzeń ośrodkowa.
• 4. Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha, operatory ograniczone twierdzenie Banacha o operatorach liniowych ciągłych.
• 5. Przestrzeń operatorów liniowych ciągłych, przestrzeń sprzężona.
• 6. Twierdzenie Baire'a, twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym i o domkniętym wykresie.
• 7. Twierdzenie Banacha-Steinhausa dla ciągu operatorów liniowych ciągłych.
• 8. Funkcjonały Banacha, twierdzenie Hahna-Banacha, twierdzenie o rozszerzaniu funkcjonałów liniowych ciągłych.
• 9. Twierdzenie Mazura o oddzielaniu, przestrzenie izometrycznie izomorficzne.
• 10. Iloczyn skalarny, przestrzeń unitarna, nierówność Schwarza i tożsamość równoległoboku, przestrzeń Hilberta.
• 11. Nierówność Bessela, twierdzenie Riesza-Fischera, równość Parsevala, ortogonalizacja Grama-Schmidta.
• 12. Funkcjonały liniowe ciągłe, twierdzenie o zbiorze wypukłym w przestrzeni Hilberta, twierdzenie o rzucie ortogonalnym, twierdzenie Riesza o postaci funkcjonału liniowego ciągłego w przestrzeni Hilberta.
• 13. Przestrzenie sprzężone do przestrzeni Hilberta, topologia słaba i słaba wstecz, przestrzenie refleksywne.
• 14. Operatory sprzężone, operatory H-sprzężone, operatory hermitowskie i unitarne.
• 15. Elementy teorii spektralnej: wartości własne, spektrum i rezolwenta operatora liniowego, promień spektralny operatora.

Proponowana literatura:

• 1. M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach space theory, Springer, New York.
• 2. J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa.
• 3. W. Rudin, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa.
• 4. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa.

Egzamin: ustny.

Ostatnia aktualizacja: 2026-02-05