Analiza matematyczna IV - rok akademicki 2025/2026

Przykładowe zadania: część I.

Tematyka wykładów:

• 1. Elementy ogólnej teorii miary, miara zewnętrzna i twierdzenie Caratheodory'ego
• 2. Konstrukcja miary Lebesgue'a w R^n
• 3. Zbiory mierzalne
• 4. Funkcje mierzalne
• 5. Całkowanie funkcji nieujemnych
• 6. Całkowanie funkcji dowolnego znaku
• 7. Przejście do granicy pod znakiem całki
• 8. Związek całki Lebesgue'a z całką Riemanna
• 9. Funkcje klasy L^2
• 10. Miara i całka Lebesgue'a-Stjeltjesa
• 11. Produktowanie miar
• 12. Twierdzenie Fubiniego
• 13. Twierdzenie o zamianie zmiennych
• 14. Przestrzeń L^1 funkcji całkowalnych
• 15. Aproksymacja funkcji całkowalnych funkcjami gładkimi
• 16. Twierdzenie Weierstrassa dla funkcji wielu zmiennych
• 17. Formy wieloliniowe antysymetryczne
• 18. Formy różniczkowe
• 19. Lemat Poincare'go
• 20. Łańcuchy i całkowanie na łańcuchach
• 21. Twierdzenie Stokesa na łańcuchach
• 22. Miara Lebesgue'a na rozmaitości
• 23. Parametryczny opis rozmaitości zanurzonych
• 24. Twierdzenie o rzędzie i poprawność definicji miary powierzzchniowej
• 25. Wzór Cauchy'ego-Bineta
• 26. Otoczenia tubularne
• 27. Orientacja rozmaitości. Całka z formy różniczkowej na rozmaitości
• 28. Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach
• 29. Szczególne przypadki ogólnego twierdzenia Stokesa
• 30. Formy i pola wektorowe w R^3

Proponowana literatura:

• 1. A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 2012.
• 2. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2012.
• 3. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 2005.
• 4. P. Strzelecki, Analiza matematyczna II (skrypt wykładu), Wydział MIiM UW, 5.01.2016
• 5. C.C. Pugh, Real mathematical analysis, Springer, New York 2002.
• 6. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976.
• 7. J. Yeh, Real Analysis: Theory of measure and integration, World Scientific, Singapore 2014.
• 8. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej. Tom 3: Całkowanie, PWN, Warszawa 2006.
• 9. W. Kołodziej, Podstawy analizy matematycznej w zadaniach, PW, Warszawa 2002.

Zasady zaliczania ćwiczeń: Odbędą się dwa kolokwia. Z każdego kolokwium będzie można otrzymać do 50 punktów. Ocena końcowa zależy od sumy punktów uzyskanych z obydwu kolokwium: 0-50 ndst, 51-60 dst, 61-70 dst+, 71-80 db, 81-90 db+, 91-100 bdb.

Egzamin będzie się składał z dwóch części: pisemnej (zadaniowej) i ustnej (teoretycznej). Do egzaminu są dopuszczone jedynie osoby, które zaliczyły ćwiczenia.

Ostatnia aktualizacja: 2026-03-30