Analiza matematyczna III - rok akademicki 2026/2027

Przykładowe zadania: część 1, część 2, część 3.

Egzamin będzie się składał z dwóch części: pisemnej (zadaniowej) i ustnej (teoretycznej). Do egzaminu są dopuszczone jedynie osoby, które zaliczyły ćwiczenia. Każda osoba dopuszczona do egzaminu pisemnego jest też dopuszczona do egzaminu ustnego. Obie części egzaminu są równie ważne.

Ocena z egzaminu pisemnego: do 50% - ndst, powyżej 50% i do 60% - dst, powyżej 60% i do 70% - dst+, powyżej 70% i do 80% - db, powyżej 80% i do 90% - db+, powyżej 90% i do 100% - bdb.

W części ustnej odpowiada się na dwa zagadnienia z zakresu na egzamin ustny, który zostanie udostępniony w trakcie trwania semestru. Ocena części ustnej (procentowa) wygląda podobnie jak części pisemnej. Ocena końcowa jest średnią z tymi samymi wagami ocen z części pisemnej i ustnej. Zatem żeby zdać cały egzamin wystarczy np. zdobyć powyżej 50% z części pisemnej i odpowiedzieć wyczerpująco na jedno spośród dwóch zadanych pytań, czy np. zdobyć powyżej 25% z części pisemnej i odpowiedzieć wyczerpująco na jedno z zagadnień i "do połowy" na drugie.

Jeżeli ocena końcowa z egzaminu jest niedostateczna, to trzeba poprawiać obydwie części egzaminu.

Tematyka wykładów:

• 1. Przestrzeń euklidesowa R^n, iloczyn skalarny i norma, zbiory otwarte i domknięte.
• 2. Ciągi w R^n, zbiory zwarte.
• 3. Funkcje ciągłe w R^n.
• 4. Ciągłość norm i przekształceń liniowych. Zbiory spójne.
• 5. Pochodne kierunkowe i cząstkowe, odwzorowania liniowe i różniczki odwzorowań.
• 6. Związek pochodnych kierunkowych i cząstkowych z różniczką, warunek wystarczający różniczkowalności.
• 7. Reguły różniczkowania i twierdzenia o wartości średniej.
• 8. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.
• 9. Twierdzenie o funkcji odwrotnej.
• 10. Dyfeomorfizmy, rozmaitości.
• 11. Wektory styczne, przestrzeń styczna do rozmaitości.
• 12. Twierdzenie o funkcji uwikłanej.
• 13. Rozmaitość o równaniu F(x)=0.
• 14. Twierdzenie o rzędzie.
• 15. Twierdzenie o mnożnikach Lagrange'a.
• 16. Pochodne wyższych rzędów. Odwzorowania klasy C^k.
• 17. Twierdzenie Schwarza o symetrii drugiej różniczki.
• 18. Ekstrema funkcji wielu zmiennych.
• 19. Wzór Taylora. Rozwinięcia funkcji wielu zmiennych w szeregi.
• 20. Funkcje gładkie.
• 21. Elementy ogólnej teorii miary.
• 22. Miara zewnętrzna i twierdzenie Caratheodory'ego.
• 23. Miara Lebesgue'a w R^n.
• 24. Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue'a.
• 25. Własności miary Lebesgue'a.
• 26. Funkcje mierzalne.
• 27. Związek mierzalności z ciągłością.
• 28. Całkowanie funkcji nieujemnych.
• 29. Całkowanie funkcji dowolnego znaku.
• 30. Własności całki z funkcji mierzalnej.

Proponowana literatura:

• 1. A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 2012.
• 2. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2012.
• 3. M. Spivak, Analiza na rozmaitościach, PWN, Warszawa 2005.
• 4. P. Strzelecki, Analiza matematyczna II (skrypt wykładu), Wydział MIiM UW, 5.01.2016
• 5. K. Maurin, Analiza. Część I, PWN, Warszawa 2010.
• 6. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
• 7. R. Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa 2002.
• 8. C.C. Pugh, Real mathematical analysis, Springer, New York 2002.

Proponowane zbiory zadań:

• 1. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. II. PWN, Warszawa.
• 2. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2, GiS, Wrocław.
• 3. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa.
• 4. W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 3, PWN, Warszawa.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-01