Analiza matematyczna II - rok akademicki 2023/2024
Zakres materiału na egzamin ustny (część I i II).
Przykładowe zadania: część I, część II, część III.
Egzamin będzie się składał z części pisemnej (zadania) i ustnej (teoria).
Tematyka wykładów:
- 1. Zasadnicze twierdzenie algebry.
- 2. Ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, warunek Cauchy'ego.
- 3. Kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów fukcyjnych, wielomiany Bernsteina i twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami.
- 4. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów i szeregów funkcyjnych, konstrukcja funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej.
- 5. Twierdzenie Arzeli-Ascoli.
- 6. Szeregi potęgowe: wzór Cauchy-Hadamarda, promień i przedział zbieżności.
- 7. Różniczkowanie szeregów potęgowych, jednoznaczność rozwinięcia w szereg potęgowy, funkcje analityczne
- 8. Twierdzenie Abela o ciągłości na krańcach przedziału zbieżności, rozwijanie funkcji w szereg potęgowy.
- 9. Funkcja pierwotna, twierdzenie mówiące, że każda funkcj ciągła ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona: podstawowe wzory i własności, całkowanie przez części i przez podstawienie.
- 10. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.
- 11. Funkcje hiperboliczne i funkcje area i ich zastosowanie do liczenia całek z funkcji niewymiernych.
- 12. Całkowanie funkcji niewymiernych za pomocą współczynników nieoznaczonych oraz za pomocą podstawień Eulera.
- 13. Całka oznaczona (Newtona): podstawowe wzory i własności, twierdzenie o przejściu granicznym pod znakiem całki.
- 14. Przybliżanie całki oznaczonej sumami całkowymi i interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
- 15. Wzór Wallisa i wzór Stirlinga, wzór Taylora z resztą całkową.
- 16. Twierdzenia o wartości średniej dla całek i ich zastosowania.
- 17. Całka Riemanna: konstrukcja całki Riemanna, całka dolna i górna, funkcje całkowalne w sensie Riemanna i ich charakteryzacja, równość z całką oznaczoną dla funkcji ciągłych.
- 18. Zastosowanie geometryczne całek: obliczanie długości krzywych.
- 19. Obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych.
- 20. Całki niewłaściwe na przedziale nieskończonym: warunek Cauchy'ego, zbieżność bezwzględna i warunkowa.
- 21. Zbieżność warunkowa całki Dirichleta, związek zbieżności całki niewłaściwej ze zbieżnością odpowiednich szeregów liczbowych.
- 22. Kryterium porównawcze i kryterium Abela-Dirichleta dla całek niewłaściwych na przedziale nieskończonym.
- 23. Całki niewłaściwe na przedziale skończonym: warunek Cauchy'ego, kryterium porównawcze.
- 24. Funkcja gamma Eulera i jej własności, logarytmiczna wypukłość, nierówność Younga i nierówność Holdera, twierdzenie Bohra
- 25. Wzór Gaussa, funkcja beta Eulera i jej własności.
- 26. Wzór iloczynowy Weierstrassa, wzór Legendre'a.
- 27. Związek funkcji gamma z funkcją sinus, rozwinięcie cotangensa w szereg ułamków prostych.
- 28. Liczby Bernoulliego i wartości funkcji dzeta Riemanna dla liczb parzystych.
- 29. Rzeczywiste i zespolone szeregi Fouriera, lemat Riemanna-Lebesgue'a.
- 30. Kryterium Diniego zbieżności szeregów Fouriera.
Proponowana literatura:
Wykład:
- 1. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom II, PWN, Warszawa.
- 2. K. Kuratowski, Rachunek rózniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
- 3. F. Leja, Rachunek rózniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
- 4. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa.
- 5. P. Strzelecki, Analiza matematyczna I (skrypt wykładu), Wydział MIiM UW, 14 grudnia 2018.
Ćwiczenia:
- W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I, II. PWN, Warszawa.
- M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 i Analiza matematyczna 2, GiS, Wrocław.
- J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa.
- W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 2, 3, PWN, Warszawa.
Ostatnia aktualizacja: 2024-04-25
Sławomir Michalik