Analiza matematyczna II - rok akademicki 2025/2026

Egzamin będzie się składał z części pisemnej (zadania) i ustnej (teoria).

Zakres materiału na egzamin ustny.

Przykładowe zadania: część I, część II, część III, część IV, część V, część VI.

Tematyka wykładów:

• 1. Zasadnicze twierdzenie algebry.
• 2. Ciągi i szeregi funkcyjne: zbieżność punktowa i jednostajna, warunek Cauchy'ego.
• 3. Kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów fukcyjnych, wielomiany Bernsteina i twierdzenie Weierstrassa o jednostajnym przybliżaniu funkcji ciągłych wielomianami.
• 4. Twierdzenie o różniczkowaniu ciągów i szeregów funkcyjnych, konstrukcja funkcji ciągłej nigdzie nieróżniczkowalnej.
• 5. Twierdzenie Arzeli-Ascoli.
• 6. Szeregi potęgowe: wzór Cauchy-Hadamarda, promień i przedział zbieżności.
• 7. Różniczkowanie szeregów potęgowych, jednoznaczność rozwinięcia w szereg potęgowy, funkcje analityczne
• 8. Twierdzenie Abela o ciągłości na krańcach przedziału zbieżności, rozwijanie funkcji w szereg potęgowy.
• 9. Funkcja pierwotna, twierdzenie mówiące, że każda funkcj ciągła ma funkcję pierwotną. Całka nieoznaczona: podstawowe wzory i własności, całkowanie przez części i przez podstawienie.
• 10. Całkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych.
• 11. Funkcje hiperboliczne i funkcje area i ich zastosowanie do liczenia całek z funkcji niewymiernych.
• 12. Całkowanie funkcji niewymiernych za pomocą współczynników nieoznaczonych oraz za pomocą podstawień Eulera.
• 13. Całka oznaczona (Newtona): podstawowe wzory i własności, twierdzenie o przejściu granicznym pod znakiem całki.
• 14. Przybliżanie całki oznaczonej sumami całkowymi i interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
• 15. Wzór Wallisa i wzór Stirlinga, wzór Taylora z resztą całkową.
• 16. Twierdzenia o wartości średniej dla całek i ich zastosowania.
• 17. Całka Riemanna: konstrukcja całki Riemanna, całka dolna i górna, funkcje całkowalne w sensie Riemanna i ich charakteryzacja, równość z całką oznaczoną dla funkcji ciągłych.
• 18. Zastosowanie geometryczne całek: obliczanie długości krzywych.
• 19. Obliczanie pól powierzchni i objętości brył obrotowych.
• 20. Całki niewłaściwe na przedziale nieskończonym: warunek Cauchy'ego, zbieżność bezwzględna i warunkowa.
• 21. Zbieżność warunkowa całki Dirichleta, związek zbieżności całki niewłaściwej ze zbieżnością odpowiednich szeregów liczbowych.
• 22. Kryterium porównawcze i kryterium Abela-Dirichleta dla całek niewłaściwych na przedziale nieskończonym.
• 23. Całki niewłaściwe na przedziale skończonym: warunek Cauchy'ego, kryterium porównawcze.
• 24. Funkcja gamma Eulera i jej własności, logarytmiczna wypukłość, nierówność Younga i nierówność Holdera, twierdzenie Bohra
• 25. Wzór Gaussa, funkcja beta Eulera i jej własności.
• 26. Wzór iloczynowy Weierstrassa, wzór Legendre'a, związek funkcji gamma z funkcją sinus.
• 27. Rozwinięcie cotangensa w szereg ułamków prostych, liczby Bernoulliego i wartości funkcji dzeta Riemanna dla liczb parzystych.
• 28. Rzeczywiste i zespolone szeregi Fouriera, lemat Riemanna-Lebesgue'a.
• 29. Kryterium Diniego zbieżności szeregów Fouriera.
• 30. Zbieżność szeregów Fouriera w L^2.

Proponowana literatura:

Wykład:

• 1. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, tom II, PWN, Warszawa.
• 2. K. Kuratowski, Rachunek rózniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
• 3. F. Leja, Rachunek rózniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa.
• 4. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa.
• 5. P. Strzelecki, Analiza matematyczna I (skrypt wykładu), Wydział MIiM UW, 14 grudnia 2018.

Ćwiczenia:

• W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, t. I, II. PWN, Warszawa.
• M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 i Analiza matematyczna 2, GiS, Wrocław.
• J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa.
• W. Kaczor, M. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 2, 3, PWN, Warszawa.

Ostatnia aktualizacja: 2026-02-05